最優(yōu)化原理

　　本書對所謂無限維最優(yōu)化理論的基本內(nèi)容提供一個系統(tǒng)的處理.全書共8章.頭兩章概括了閱讀本書主要內(nèi)容所需的預(yù)備知識，其中包括基本的泛函分析結(jié)果與非光滑分析.隨后各章闡述最優(yōu)化理論的基本論題：不等式系統(tǒng)與擇一定理，一階與高階最優(yōu)性條件，對偶理論，向量最優(yōu)化等.本書一方面以緊湊的形式概括了最優(yōu)化理論的標(biāo)準內(nèi)容，同時介紹了較多的新近研究成果，其中包括作者本人的一些結(jié)果.這部分內(nèi)容涉及近年來引起廣泛關(guān)注的一些研究領(lǐng)域，因而可能為有研究興趣的讀者架設(shè)起從基礎(chǔ)理論通向研究前沿的橋梁.對于數(shù)學(xué)系的高年級大學(xué)生及有關(guān)理工科專業(yè)的碩士生，本書略加刪節(jié)之后可作為教材使用.在當(dāng)代科學(xué)發(fā)展進程中，對于最優(yōu)化理論的日益廣泛與緊迫的需要，已成為一種引人注目的潮流；有這種需要的科技工作者，將發(fā)現(xiàn)本書可提供一些有用的理論工具.近20年間，如果說有一個詞，它既回響于科學(xué)殿堂，又流行于社會各界乃至市井街頭；既閃耀著科學(xué)思想的火花，又融會著公眾常識的直覺.那么，這個詞就是優(yōu)化或最優(yōu)化（Optimiza"。n）.無論工程設(shè)計，生產(chǎn)經(jīng)營，投資決策，經(jīng)濟運行，人才管理，社會結(jié)構(gòu)，人們都在追求一種至上的境界，追求一種"極致"，這種普遍的沖動最終朝向最優(yōu)化.而且，自然界本身早已按照最優(yōu)化的原則決定其存在形態(tài)與演化方式.綜觀自然與社會，人們確信：最優(yōu)化乃是任何事物趨于平衡時無可逃遁的一條規(guī)則.如此普遍的規(guī)則不可能沒有與之相應(yīng)的偉大數(shù)學(xué)理論！作為一門數(shù)學(xué)學(xué)科的"最優(yōu)化"，非同尋常地?zé)岷跗饋?，乃為自然之?最優(yōu)化問題可簡單地表述為：在給定條件下求一函數(shù)的極值點.在這種意義上，最優(yōu)化理論源遠流長.然而，只是到20世紀下半葉，關(guān)于最優(yōu)化的一些基本結(jié)論才被發(fā)現(xiàn).因此，作為一門獨立數(shù)學(xué)學(xué)科的最優(yōu)化，乃是最近幾十年間數(shù)學(xué)迅速發(fā)展的產(chǎn)物.對一個最優(yōu)化問題的解答自然分為兩個部分.首先，必須回答該問題是否有解及其解集具有何性質(zhì).這方面的研究構(gòu)成"最優(yōu)化理論"，其基本內(nèi)容正是本書所要介紹的.其次，對于一個確知其有解的最優(yōu)化問題，具體求出其（準確或近似）解無疑有重大實際意義.一些愈來愈強有力的算法的涌現(xiàn)，正是近幾十年來最優(yōu)化方法的主要成就之一.這方面的內(nèi)容將在本書的續(xù)著中加以介紹.本書以Banach空間作為處理最優(yōu)化問題的基本空間框架.這看來是一種較合理的選擇，它既不像Euclid空間那樣失之過窄，也不像拓撲向量空間那樣失之過寬.因此，本書所處理的實際上是"無限維最優(yōu)化".本書盡了最大努力來證明：關(guān)于"有限維最優(yōu)化"的許多結(jié)論，在某種更為簡潔（因而也更自然）的形式下，也適用于無限維最優(yōu)化.這是一個極令人鼓舞的事實，它不僅帶來了具有高度概括性的統(tǒng)一理論，而且為最優(yōu)化理論應(yīng)用于數(shù)學(xué)物理及控制理論等領(lǐng)域開辟了道路.本書第一章給出全書所需的預(yù)備知識.對于"無限維最優(yōu)化"這一課題來說，泛函分析無疑是必需的基本工具.第二章主要是為討論"非光滑最優(yōu)化"作準備的.部分地應(yīng)最優(yōu)化理論之需要而發(fā)展起來的"非光滑分析"，自身已成為一個內(nèi)容豐富的獨立學(xué)科，其應(yīng)用價值已超出最優(yōu)化理論之外.第三章所處理的"擇一定理"包含了一系列互有聯(lián)系的定理，它們在最優(yōu)化理論中起著十分獨特的作用，被譽為"最優(yōu)化理論的基石"。讀者將會發(fā)現(xiàn)，該章是作者最著力的部分之一，大部分結(jié)果被推進到迄今所知的最強的形式，不少結(jié)果屬于作者且是第一次發(fā)表。我們認為，即使作為一個獨立的研究課題，擇一定理亦有非同尋常的引入之處；它所獨具的優(yōu)美邏輯形式在數(shù)學(xué)中是很典型的，第四、五兩章無疑是本書的中心內(nèi)容，其中概括了"單目標(biāo)最優(yōu)化理論"的主要基本結(jié)果.大部分結(jié)果基于近期文獻，但作了盡可能的改進與整理，因而往往更具一般性或形式更為簡潔.作者相信有一部分結(jié)果實質(zhì)上是新的，當(dāng)然，其合理性與價值仍有待讀者審驗.第六章所處理的向量最優(yōu)化可分為兩部分：其一是"標(biāo)量最優(yōu)化"的直接推廣，這部分內(nèi)容雖不可缺少，但不是最有意思的，它反映了一個理論在其發(fā)展進程中的例行擴張.另一部分則是真正體現(xiàn)向量序特色的內(nèi)容，它包含許多遠未完全克服的重大困難，因而對于喜歡應(yīng)付嚴重挑戰(zhàn)的研究者更具吸引力.對于這樣一個問題與結(jié)果都在不斷涌現(xiàn)的研究領(lǐng)域，本書作者只能謹慎地選擇若干較成熟的材料，以作為對有興趣讀者的初步導(dǎo)引.從邏輯上看，第七章是第四章的自然發(fā)展.但"高階問題"無疑具有更大的難度，因而不可期望與"一階問題"同樣成熟的結(jié)果.實際上，已有多種處理高階最優(yōu)性條件的方法，本書只是選擇了其中的一種而已.本書所用的"高階變分導(dǎo)數(shù)"不失為一個有效工具，以至作者對之情有獨鐘.但作者無意貶斥其他可行的選擇.在任何意義上，本書前七章都不是最優(yōu)化理論的一個全面總結(jié)，因而自然有許多重要內(nèi)容未能涉及.最后的一章似乎應(yīng)扮演"補遺"的角色，但該章短短的三節(jié)很難起到這種作用.從本書所能容許的篇幅來說，作者至此已該擱筆了，況且，對于那些非專章不能論其詳?shù)闹匾獙ｎ}（例如靈敏度分析），簡略的描述無異于一種輕率.由于已有預(yù)備性的第一章，本書基本上是自給自足的.作者并不追求各章的獨立性，而是力圖將全書組織成一個前后連貫的整體.我們認為，不同部分之間的密切聯(lián)系有助于讀者理解本書的內(nèi)容.作者盡了很大努力去簡化對內(nèi)容的處理，其中包括采用一套特別有效的符號.這可能會影響本書的可讀性，但要在一本區(qū)區(qū)二十余萬字的書中容納與本書相當(dāng)?shù)膬?nèi)容，任何作者在可讀性與簡潔性之間大概都很少有選擇的余地.這使作者能夠聊以自慰.凡想J幀利閱讀本書的讀者，務(wù)必瀏覽一下本書卷首的"記號與約定".本書的大部分內(nèi)容曾在華中理工大學(xué)數(shù)學(xué)系"非線性分析討論班"上討論過，作者衷心感謝討論班成員對于撰寫本書的熱誠支持.著者也衷心感謝華中理工大學(xué)出版社領(lǐng)導(dǎo)及編輯為本書順利出版而作的大量努力。

　　胡適耕，湖南湘鄉(xiāng)人，1967年畢業(yè)于湖南大學(xué)數(shù)學(xué)系，現(xiàn)為華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)系教授、博士生導(dǎo)師。在拓撲格理論、動力系統(tǒng)、非線性分析、最優(yōu)化理論、生物數(shù)學(xué)與經(jīng)濟數(shù)學(xué)等領(lǐng)域有一系列研究，已發(fā)表論文一百余篇，出版數(shù)學(xué)與經(jīng)濟學(xué)著作十余本。代表性著作有《非線性分析》、《最優(yōu)化原理》、《全球化》、《泛函分析》等。