算術(shù)基礎(chǔ)：對于數(shù)這個概念的一種邏輯數(shù)學(xué)的研究

序
　　§1．在數(shù)學(xué)中近來可以看到一種旨在達到證明的嚴格性和概念的精確理解的努力。
　　§2．證明最終必然也涉及數(shù)這個概念。證明的目的。
　　§3．如下研究的哲學(xué)動機：有爭議的問題，數(shù)的定律是分析的真命題還是綜合的真命題，是先驗的還是后驗的。這些表達式的意義。
　　§4．本書的任務(wù)。 I.一些著作家關(guān)于算術(shù)句子的性質(zhì)的意見
　數(shù)公式是可證明的嗎?
　　§5．康德否認漢克爾正當(dāng)?shù)胤Q之為悖論的東西。
　　§6．萊布尼茲關(guān)于2+2＝4的證明有一個缺陷。格拉斯曼關(guān)于a+b的定義是不完善的。
　　§7．密爾的下述意見是沒有根據(jù)的：單個的數(shù)的定義斷定觀察到的事實，而由這些事實得出計算。
　　§8．就定義的合理性而言，并不要求對事實的觀察。
　算術(shù)規(guī)律是歸納的真命題嗎?
　　§9．密爾的自然律。當(dāng)密爾把算術(shù)的真命題稱為自然律時，他混淆了這些命題和它們的應(yīng)用。
　　§10．反對加法定律是歸納的真命題的理由：數(shù)的不同類性；我們并沒有通過定義而得到數(shù)的許多共同特征；很可能正相反，歸納是基于算術(shù)而證明的。
　　§11．萊布尼茲的“生來就有的”。
　算術(shù)定律是先驗綜合的還是分析的？
　　§12．康德。鮑曼。利普希茲。漢克爾。作為認識基礎(chǔ)的內(nèi)在直覺。
　　§13．算術(shù)和幾何的區(qū)別。
　　§14．聯(lián)系由真命題支配的領(lǐng)域來比較真命題。
　　§15．萊布尼茲和杰芬斯的觀點。
　　§16．反對密爾貶低“對語言的熟練駕馭”。符號不意謂任何可感覺的東西，因此不是空的。
　　§17．歸納的不充分性。猜測，數(shù)的定律是分析判斷；那么它們的用處在哪里。尊重分析判斷。
II．一些著作家關(guān)于數(shù)概念的看法
　　§18．研究數(shù)這個普遍概念的必要性。
　　§19．定義不能是幾何學(xué)的。
　　§20．?dāng)?shù)是可定義的嗎？漢克爾。萊布尼茲。
　數(shù)是外在事物的性質(zhì)嗎？
　　§21．康托爾和施羅德的看法。
　　§22．鮑曼的不同看法：外在事物不表現(xiàn)出嚴格的性質(zhì)。數(shù)似乎依賴于我們的理解。
　　§23．密爾下述看法是站不住腳的：數(shù)是事物的聚集的性質(zhì)。
　　§24．?dāng)?shù)的廣泛可應(yīng)用性。密爾。洛克。萊布尼茲的非物質(zhì)形象。如果數(shù)是某種有感覺的東西，那么就不能把它們賦予沒有感覺的東西。
　　§25．密爾關(guān)于2和3之間的物理區(qū)別。根據(jù)貝克萊，數(shù)實際上不在事物之中，而是通過心靈創(chuàng)造出來的。
　數(shù)是主觀的東西嗎?
　　§26．利普希茲關(guān)于數(shù)的構(gòu)造的描述是不合適的，并且不能代替對概念的確定。數(shù)不是心理學(xué)的對象，而是某種客觀的東西。
　　§27．?dāng)?shù)不是像施羅埃密爾西想說明的那樣的關(guān)于一個對象在一個系列中的位置的表象。
　作為集合的數(shù)
　　§28．托邁的命名。
Ⅲ關(guān)于單位和一的看法
　“一”這個數(shù)詞表達對象的一種性質(zhì)嗎?
　　§29．“μουαζ”和“單位”這兩個表達式的多義性。施羅德把單位解釋為計數(shù)對象，似乎是沒有用處的?！耙弧边@個形容詞不包含任何更進一步的確定，不能用作謂詞。
　　§30．根據(jù)萊布尼茲和鮑曼所嘗試的定義，似乎一這個概念完全消失了。
　　§31．鮑曼關(guān)于不可分性和分界性的標志。一這個觀念不是由那個對象提供給我們的(洛克)。
　　§32．語言確實說明與不可分性和分界性的一種聯(lián)系，然而在這里意義發(fā)生變化。
　　§33．不可分性(G．科普)是不能作為一的標志而得到的。
　單位是否彼此相等?
　　§34．作為“一”這個名字的基礎(chǔ)的單位。施羅德。霍布斯。休謨。托邁。通過抽象掉事物的差異得不到數(shù)這個概念，而且由此事物不是相等的。
　　§35．即使應(yīng)該談?wù)摱啵町愐彩潜匾?。施羅德。杰芬斯。
　　§36．關(guān)于單位的差異性的看法也引起困難。杰芬斯的不同的一。
　　§37．洛克、萊布尼茲、黑塞從單位或一對數(shù)的解釋。
　　§38．“一”是專名，“單位”是概念詞。數(shù)不能被定義為單位。“和”和+的區(qū)別。
　　§39．由于“單位”的多義性，化解單位相等和可區(qū)別性的困難被掩蓋起來。
　克服這個困難的嘗試
　　§40．時間和空間作為區(qū)別的方法?；舨妓?。托邁。相反的看法：萊布尼茲，鮑曼，杰芬斯。
　　§41．這個目的達不到。
　　§42．一個序列中的位置作為區(qū)別的方法。漢克爾的假定。
　　§43．施羅德通過1這個符號塑造對象。
　　§44．杰芬斯通過確定差異的存在而抽象掉差異特征。0和1是與其他數(shù)一樣的數(shù)。困難依然存在。
　困難的解決
　　§45．回顧。
　　§46．?dāng)?shù)的給出包含著對一個概念的表達。反對意見，概念不變時數(shù)發(fā)生變化。
　　§47．?dāng)?shù)的給出這個事實由概念的客觀性得到說明。
　　§48．解決幾個困難。
　　§49．斯賓諾莎的證明。
　　§50．施羅德的解釋。
　　§51．這個問題的更正。
　　§52．在德語的一種語言使用中的證明。
　　§53．一個概念的標記和性質(zhì)之間的區(qū)別。存在和數(shù)。
　　§54．人們可以把單位稱為一個數(shù)的給出的主詞。單位的不可分性和分界性。相等和可區(qū)分性。
Ⅳ．?dāng)?shù)這個概念
　每個個別的數(shù)都是一個獨立的對象
　　§55．試圖補充萊布尼茲關(guān)于個別的數(shù)的定義。
　　§56．這些嘗試的定義是不能用的，因為它們說明的是這樣一個命題：在這個命題中，數(shù)僅是一部分。
　　§57．應(yīng)該把數(shù)的給出看作是一個數(shù)的等式。
　　§58．反對意見：數(shù)作為一個獨立的對象是不可想象的。數(shù)根本是不可想象的。
　　§59．一個對象不因為它是不可想象的而被排除在研究之外。
　　§60．獨立的事物自身也不總是可想象的。如果人們詢問語詞的意謂，就必須在句子中考慮它們。
　　§61．反對意見：數(shù)是非空間的。并非每個客觀對象都是空間的。
　為了獲得數(shù)這個概念，必須確定數(shù)相等的意義
　　§62． 我們需要一個表示數(shù)相等的記號。
　　§63． 作為這樣的(記號)一一對應(yīng)的可能性。邏輯上的疑問：特別是解釋這種情況的相等。
　　§64． 一個類似過程的例子：方向，平面的位置，一個三角形的形成。
　　§65． 嘗試一個定義。第二種疑問：對相等的規(guī)定是不是足夠。
　　§66． 第三種疑問：相等這個記號是不充分的。
　　§67． 不能通過下面的方式形成補充：人們把一個概念的標記看作是引入一個對象的方式。
　　§68． 作為概念外延的數(shù)。
　　§69． 說明。
　對我們這個定義的補充和證明
　　§70． 關(guān)系概念。
　　§71． 通過一種關(guān)系而對應(yīng)。
　　§72． 一一對應(yīng)關(guān)系。數(shù)這個概念。
　　§73． 如果有一個關(guān)系，它使處于F這個概念之下的對象與處于G這個概念之下的對象一一對應(yīng)，那么屬于F這個概念的這個數(shù)與屬于G這個概念的這個數(shù)就是相等的。
　　§74． 零是屬于“與自身不相等”這個概念的那個數(shù)。
　　§75． 零是屬于一個其下沒有任何東西的概念的那個數(shù)。如果零是符合一個概念的那個數(shù)，那么就沒有任何對象處于這個概念之下。
　　§76． 對“在自然數(shù)序列中n跟在m之后”這個表達的說明。
　　§77． 1是屬于“與0相等”這個概念的那個數(shù)。
　　§78． 借助我們的定義被證明的句子。
　　§79． 對“一個序列中跟著”的定義。
　　§80． 注釋?！案钡目陀^性。
　　§81． 對“x隸屬以y結(jié)束的那個φ序列”的說明。
　　§82． 對自然數(shù)序列沒有最后一個項的證明的提示。
　　§83． 有窮數(shù)的定義。在自然數(shù)序列中任何有窮數(shù)都不跟著自己。
　無窮數(shù)
　　§84． 屬于“有窮數(shù)”這個概念的那個數(shù)是一個無窮數(shù)。
　　§85． 康托爾的無窮數(shù)；“冪”。稱謂的偏離。
　　§86． 康托爾的“順序中的后繼”和我的“序列中的后繼”。
V． 結(jié)論
　　§87． 算術(shù)定律的性質(zhì)。
　　§88． 康德對分析判斷的低估。
　　§89． 康德的句子：“沒有感覺，我們就不能得到任何對象。”康德的數(shù)學(xué)功績。
　　§90． 對于算術(shù)定律的分析性質(zhì)的完整證明缺乏一種沒有缺陷的連貫推論。
　　§91． 通過我的概念文字可以彌補這種缺陷。
　其它的數(shù)
　　§92． 根據(jù)漢克爾的看法，詢問數(shù)的可能性的意義。
　　§93． 數(shù)既不是在我們之外空間的，也不是主觀的。
　　§94． 一個概念的無矛盾性并不保證某種東西處于它之下，并且本身需要證明。
　　§95． 人們不能立即把(c—b)看作是解決減法任務(wù)的東西。
　　§96． 數(shù)學(xué)家也不能任意地干事情。
　　§97． 應(yīng)該把概念和對象區(qū)別開。
　　§98． 漢克爾對加法的解釋。
　　§99． 形式理論的缺陷。
　　§100． 嘗試通過以特殊的方式擴展乘法的意謂來說明復(fù)數(shù)。
　　§101． 這樣一種說明的可能性對于證明的力量不是不重要的。
　　§102． 單純要求應(yīng)該引入這樣一種運算并不能做到這一點。
　　§103． 科薩克關(guān)于復(fù)數(shù)的解釋僅僅對定義有提示，并沒有避免引入陌生的東西。幾何體現(xiàn)。
　　§104． 重要的是為新數(shù)規(guī)定一個重認判斷的意義。
　　§105． 算術(shù)的魅力在于它的理性特征。
　　§106—109． 回顧。