算術(shù)基礎(chǔ)：對(duì)于數(shù)這個(gè)概念的一種邏輯數(shù)學(xué)的研究

序
　　§1．在數(shù)學(xué)中近來(lái)可以看到一種旨在達(dá)到證明的嚴(yán)格性和概念的精確理解的努力。
　　§2．證明最終必然也涉及數(shù)這個(gè)概念。證明的目的。
　　§3．如下研究的哲學(xué)動(dòng)機(jī)：有爭(zhēng)議的問(wèn)題，數(shù)的定律是分析的真命題還是綜合的真命題，是先驗(yàn)的還是后驗(yàn)的。這些表達(dá)式的意義。
　　§4．本書(shū)的任務(wù)。 I.一些著作家關(guān)于算術(shù)句子的性質(zhì)的意見(jiàn)
　數(shù)公式是可證明的嗎?
　　§5．康德否認(rèn)漢克爾正當(dāng)?shù)胤Q之為悖論的東西。
　　§6．萊布尼茲關(guān)于2+2＝4的證明有一個(gè)缺陷。格拉斯曼關(guān)于a+b的定義是不完善的。
　　§7．密爾的下述意見(jiàn)是沒(méi)有根據(jù)的：?jiǎn)蝹€(gè)的數(shù)的定義斷定觀察到的事實(shí)，而由這些事實(shí)得出計(jì)算。
　　§8．就定義的合理性而言，并不要求對(duì)事實(shí)的觀察。
　算術(shù)規(guī)律是歸納的真命題嗎?
　　§9．密爾的自然律。當(dāng)密爾把算術(shù)的真命題稱為自然律時(shí)，他混淆了這些命題和它們的應(yīng)用。
　　§10．反對(duì)加法定律是歸納的真命題的理由：數(shù)的不同類(lèi)性；我們并沒(méi)有通過(guò)定義而得到數(shù)的許多共同特征；很可能正相反，歸納是基于算術(shù)而證明的。
　　§11．萊布尼茲的“生來(lái)就有的”。
　算術(shù)定律是先驗(yàn)綜合的還是分析的？
　　§12．康德。鮑曼。利普希茲。漢克爾。作為認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)的內(nèi)在直覺(jué)。
　　§13．算術(shù)和幾何的區(qū)別。
　　§14．聯(lián)系由真命題支配的領(lǐng)域來(lái)比較真命題。
　　§15．萊布尼茲和杰芬斯的觀點(diǎn)。
　　§16．反對(duì)密爾貶低“對(duì)語(yǔ)言的熟練駕馭”。符號(hào)不意謂任何可感覺(jué)的東西，因此不是空的。
　　§17．歸納的不充分性。猜測(cè)，數(shù)的定律是分析判斷；那么它們的用處在哪里。尊重分析判斷。
II．一些著作家關(guān)于數(shù)概念的看法
　　§18．研究數(shù)這個(gè)普遍概念的必要性。
　　§19．定義不能是幾何學(xué)的。
　　§20．?dāng)?shù)是可定義的嗎？漢克爾。萊布尼茲。
　數(shù)是外在事物的性質(zhì)嗎？
　　§21．康托爾和施羅德的看法。
　　§22．鮑曼的不同看法：外在事物不表現(xiàn)出嚴(yán)格的性質(zhì)。數(shù)似乎依賴于我們的理解。
　　§23．密爾下述看法是站不住腳的：數(shù)是事物的聚集的性質(zhì)。
　　§24．?dāng)?shù)的廣泛可應(yīng)用性。密爾。洛克。萊布尼茲的非物質(zhì)形象。如果數(shù)是某種有感覺(jué)的東西，那么就不能把它們賦予沒(méi)有感覺(jué)的東西。
　　§25．密爾關(guān)于2和3之間的物理區(qū)別。根據(jù)貝克萊，數(shù)實(shí)際上不在事物之中，而是通過(guò)心靈創(chuàng)造出來(lái)的。
　數(shù)是主觀的東西嗎?
　　§26．利普希茲關(guān)于數(shù)的構(gòu)造的描述是不合適的，并且不能代替對(duì)概念的確定。數(shù)不是心理學(xué)的對(duì)象，而是某種客觀的東西。
　　§27．?dāng)?shù)不是像施羅埃密爾西想說(shuō)明的那樣的關(guān)于一個(gè)對(duì)象在一個(gè)系列中的位置的表象。
　作為集合的數(shù)
　　§28．托邁的命名。
Ⅲ關(guān)于單位和一的看法
　“一”這個(gè)數(shù)詞表達(dá)對(duì)象的一種性質(zhì)嗎?
　　§29．“μουαζ”和“單位”這兩個(gè)表達(dá)式的多義性。施羅德把單位解釋為計(jì)數(shù)對(duì)象，似乎是沒(méi)有用處的。“一”這個(gè)形容詞不包含任何更進(jìn)一步的確定，不能用作謂詞。
　　§30．根據(jù)萊布尼茲和鮑曼所嘗試的定義，似乎一這個(gè)概念完全消失了。
　　§31．鮑曼關(guān)于不可分性和分界性的標(biāo)志。一這個(gè)觀念不是由那個(gè)對(duì)象提供給我們的(洛克)。
　　§32．語(yǔ)言確實(shí)說(shuō)明與不可分性和分界性的一種聯(lián)系，然而在這里意義發(fā)生變化。
　　§33．不可分性(G．科普)是不能作為一的標(biāo)志而得到的。
　單位是否彼此相等?
　　§34．作為“一”這個(gè)名字的基礎(chǔ)的單位。施羅德?；舨妓?。休謨。托邁。通過(guò)抽象掉事物的差異得不到數(shù)這個(gè)概念，而且由此事物不是相等的。
　　§35．即使應(yīng)該談?wù)摱?，差異也是必要的。施羅德。杰芬斯。
　　§36．關(guān)于單位的差異性的看法也引起困難。杰芬斯的不同的一。
　　§37．洛克、萊布尼茲、黑塞從單位或一對(duì)數(shù)的解釋。
　　§38．“一”是專(zhuān)名，“單位”是概念詞。數(shù)不能被定義為單位?！昂汀焙?的區(qū)別。
　　§39．由于“單位”的多義性，化解單位相等和可區(qū)別性的困難被掩蓋起來(lái)。
　克服這個(gè)困難的嘗試
　　§40．時(shí)間和空間作為區(qū)別的方法?；舨妓?。托邁。相反的看法：萊布尼茲，鮑曼，杰芬斯。
　　§41．這個(gè)目的達(dá)不到。
　　§42．一個(gè)序列中的位置作為區(qū)別的方法。漢克爾的假定。
　　§43．施羅德通過(guò)1這個(gè)符號(hào)塑造對(duì)象。
　　§44．杰芬斯通過(guò)確定差異的存在而抽象掉差異特征。0和1是與其他數(shù)一樣的數(shù)。困難依然存在。
　困難的解決
　　§45．回顧。
　　§46．?dāng)?shù)的給出包含著對(duì)一個(gè)概念的表達(dá)。反對(duì)意見(jiàn)，概念不變時(shí)數(shù)發(fā)生變化。
　　§47．?dāng)?shù)的給出這個(gè)事實(shí)由概念的客觀性得到說(shuō)明。
　　§48．解決幾個(gè)困難。
　　§49．斯賓諾莎的證明。
　　§50．施羅德的解釋。
　　§51．這個(gè)問(wèn)題的更正。
　　§52．在德語(yǔ)的一種語(yǔ)言使用中的證明。
　　§53．一個(gè)概念的標(biāo)記和性質(zhì)之間的區(qū)別。存在和數(shù)。
　　§54．人們可以把單位稱為一個(gè)數(shù)的給出的主詞。單位的不可分性和分界性。相等和可區(qū)分性。
Ⅳ．?dāng)?shù)這個(gè)概念
　每個(gè)個(gè)別的數(shù)都是一個(gè)獨(dú)立的對(duì)象
　　§55．試圖補(bǔ)充萊布尼茲關(guān)于個(gè)別的數(shù)的定義。
　　§56．這些嘗試的定義是不能用的，因?yàn)樗鼈冋f(shuō)明的是這樣一個(gè)命題：在這個(gè)命題中，數(shù)僅是一部分。
　　§57．應(yīng)該把數(shù)的給出看作是一個(gè)數(shù)的等式。
　　§58．反對(duì)意見(jiàn)：數(shù)作為一個(gè)獨(dú)立的對(duì)象是不可想象的。數(shù)根本是不可想象的。
　　§59．一個(gè)對(duì)象不因?yàn)樗遣豢上胂蟮亩慌懦谘芯恐狻?
　　§60．獨(dú)立的事物自身也不總是可想象的。如果人們?cè)儐?wèn)語(yǔ)詞的意謂，就必須在句子中考慮它們。
　　§61．反對(duì)意見(jiàn)：數(shù)是非空間的。并非每個(gè)客觀對(duì)象都是空間的。
　為了獲得數(shù)這個(gè)概念，必須確定數(shù)相等的意義
　　§62． 我們需要一個(gè)表示數(shù)相等的記號(hào)。
　　§63． 作為這樣的(記號(hào))一一對(duì)應(yīng)的可能性。邏輯上的疑問(wèn)：特別是解釋這種情況的相等。
　　§64． 一個(gè)類(lèi)似過(guò)程的例子：方向，平面的位置，一個(gè)三角形的形成。
　　§65． 嘗試一個(gè)定義。第二種疑問(wèn)：對(duì)相等的規(guī)定是不是足夠。
　　§66． 第三種疑問(wèn)：相等這個(gè)記號(hào)是不充分的。
　　§67． 不能通過(guò)下面的方式形成補(bǔ)充：人們把一個(gè)概念的標(biāo)記看作是引入一個(gè)對(duì)象的方式。
　　§68． 作為概念外延的數(shù)。
　　§69． 說(shuō)明。
　對(duì)我們這個(gè)定義的補(bǔ)充和證明
　　§70． 關(guān)系概念。
　　§71． 通過(guò)一種關(guān)系而對(duì)應(yīng)。
　　§72． 一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。數(shù)這個(gè)概念。
　　§73． 如果有一個(gè)關(guān)系，它使處于F這個(gè)概念之下的對(duì)象與處于G這個(gè)概念之下的對(duì)象一一對(duì)應(yīng)，那么屬于F這個(gè)概念的這個(gè)數(shù)與屬于G這個(gè)概念的這個(gè)數(shù)就是相等的。
　　§74． 零是屬于“與自身不相等”這個(gè)概念的那個(gè)數(shù)。
　　§75． 零是屬于一個(gè)其下沒(méi)有任何東西的概念的那個(gè)數(shù)。如果零是符合一個(gè)概念的那個(gè)數(shù)，那么就沒(méi)有任何對(duì)象處于這個(gè)概念之下。
　　§76． 對(duì)“在自然數(shù)序列中n跟在m之后”這個(gè)表達(dá)的說(shuō)明。
　　§77． 1是屬于“與0相等”這個(gè)概念的那個(gè)數(shù)。
　　§78． 借助我們的定義被證明的句子。
　　§79． 對(duì)“一個(gè)序列中跟著”的定義。
　　§80． 注釋?！案钡目陀^性。
　　§81． 對(duì)“x隸屬以y結(jié)束的那個(gè)φ序列”的說(shuō)明。
　　§82． 對(duì)自然數(shù)序列沒(méi)有最后一個(gè)項(xiàng)的證明的提示。
　　§83． 有窮數(shù)的定義。在自然數(shù)序列中任何有窮數(shù)都不跟著自己。
　無(wú)窮數(shù)
　　§84． 屬于“有窮數(shù)”這個(gè)概念的那個(gè)數(shù)是一個(gè)無(wú)窮數(shù)。
　　§85． 康托爾的無(wú)窮數(shù)；“冪”。稱謂的偏離。
　　§86． 康托爾的“順序中的后繼”和我的“序列中的后繼”。
V． 結(jié)論
　　§87． 算術(shù)定律的性質(zhì)。
　　§88． 康德對(duì)分析判斷的低估。
　　§89． 康德的句子：“沒(méi)有感覺(jué)，我們就不能得到任何對(duì)象?！笨档碌臄?shù)學(xué)功績(jī)。
　　§90． 對(duì)于算術(shù)定律的分析性質(zhì)的完整證明缺乏一種沒(méi)有缺陷的連貫推論。
　　§91． 通過(guò)我的概念文字可以彌補(bǔ)這種缺陷。
　其它的數(shù)
　　§92． 根據(jù)漢克爾的看法，詢問(wèn)數(shù)的可能性的意義。
　　§93． 數(shù)既不是在我們之外空間的，也不是主觀的。
　　§94． 一個(gè)概念的無(wú)矛盾性并不保證某種東西處于它之下，并且本身需要證明。
　　§95． 人們不能立即把(c—b)看作是解決減法任務(wù)的東西。
　　§96． 數(shù)學(xué)家也不能任意地干事情。
　　§97． 應(yīng)該把概念和對(duì)象區(qū)別開(kāi)。
　　§98． 漢克爾對(duì)加法的解釋。
　　§99． 形式理論的缺陷。
　　§100． 嘗試通過(guò)以特殊的方式擴(kuò)展乘法的意謂來(lái)說(shuō)明復(fù)數(shù)。
　　§101． 這樣一種說(shuō)明的可能性對(duì)于證明的力量不是不重要的。
　　§102． 單純要求應(yīng)該引入這樣一種運(yùn)算并不能做到這一點(diǎn)。
　　§103． 科薩克關(guān)于復(fù)數(shù)的解釋僅僅對(duì)定義有提示，并沒(méi)有避免引入陌生的東西。幾何體現(xiàn)。
　　§104． 重要的是為新數(shù)規(guī)定一個(gè)重認(rèn)判斷的意義。
　　§105． 算術(shù)的魅力在于它的理性特征。
　　§106—109． 回顧。