數(shù)學分析（上）

序
前言
第一章集合與映射
§1集合
集合
集合運算
有限集與無限集
Descartes乘積集合
習題
§2映射與函數(shù)
映射
一元實函數(shù)
初等函數(shù)
函數(shù)的分段表示,隱式表示與參數(shù)表示
函數(shù)的簡單特性
兩個常用不等式
習題
第二章數(shù)列極限
§1實數(shù)系的連續(xù)性
實數(shù)系
最大數(shù)與最小數(shù)
上確界與下確界
附錄Dedekind切割定理
習題
§2數(shù)列極限
數(shù)列與數(shù)列極限
數(shù)列極限的性質(zhì)
數(shù)列極限的四則運算
習題
§3無窮大量
無窮大量
待定型
習題
§4收斂準則
單調(diào)有界數(shù)列收斂定理
丌和e
閉區(qū)間套定理
子列
Bolzano-Weierstrass定理
Cauchy收斂原理
實數(shù)系的基本定理
習題
第三章函數(shù)極限與連續(xù)函數(shù)
§1函數(shù)極限
函數(shù)極限的定義
函數(shù)極限的性質(zhì)
函數(shù)極限的四則運算
函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系
單側(cè)極限
函數(shù)極限定義的擴充
習題
§2連續(xù)函數(shù)
連續(xù)函數(shù)的定義
連續(xù)函數(shù)的四則運算
不連續(xù)點的類型
反函數(shù)連續(xù)性定理
復合函數(shù)的連續(xù)性
習題
§3無窮小量與無窮大量的階
無窮小量的比較
無窮大量的比較
等價量
習題
§4閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)
有界性定理
最值定理
零點存在定理
中間值定理
一致連續(xù)概念
習題
第四章微分
§1微分和導數(shù)
微分概念的導出背景
微分的定義
微分和導數(shù)
習題
§2導數(shù)的意義和性質(zhì)
產(chǎn)生導數(shù)的實際背景
導數(shù)的幾何意義
單側(cè)導數(shù)
習題
§3導數(shù)四則運算和反函數(shù)求導法則
從定義出發(fā)求導函數(shù)
求導的四則運算法則
反函數(shù)求導法則
習題
§4復合函數(shù)求導法則及其應用
復合函數(shù)求導法則
一階微分的形式不變性
參數(shù)形式的函數(shù)的求導公式
習題
§5高階導數(shù)和高階微分
高階導數(shù)的實際背景及定義
高階導數(shù)的運算法則
高階微分
習題
第五章微分中值定理及其應用
§1微分中值定理
極值與Fermat引理
Rolle定理
Lagrange中值定理
用Lagrange中值定理討論函數(shù)性質(zhì)
Cauchy中值定理
習題
§2L'Hospital法則
待定型極限和L'Hospital法則
可化為型或型的極限
習題
§3插值多項式和Taylor公式
插值多項式和余項
Lagrange插值多項式和Taylor公式
習題
§4函數(shù)的Taylor公式及其應用
函數(shù)在x=0處的Taylor公式
Taylor公式的應用
習題
§5應用舉例
函數(shù)作圖
最值問題
數(shù)學建模
習題
§6函數(shù)方程的近似求解
解析方法和數(shù)值方法
二分法
Newton迭代法
計算實習題
第六章不定積分
§1不定積分的概念和運算法則
微分的逆運算--不定積分
不定積分的線性性質(zhì)
習題
§2換元積分法和分部積分法
換元積分法
分部積分法
習題
§3有理函數(shù)的不定積分及其應用
有理函數(shù)的不定積分
可化成有理函數(shù)不定積分的情況
習題
第七章定積分
§1定積分的概念和可積條件
定積分概念的導出背景
定積分的定義
Darboux和
Riemann可積的充分必要條件
習題
§2定積分的基本性質(zhì)
習題
§3微積分基本定理
從實例看微分與積分的聯(lián)系
微積分基本定理--Newton-Leibniz公式
定積分的換元積分法和分部積分法
習題
§4定積分在幾何中的應用
求平面圖形的面積
求曲線的弧長
求某些特殊形狀的幾何體的體積
求旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積
習題
附錄常用幾何曲線圖示
§5微積分實際應用舉例
微元法
由靜態(tài)分布求總量
求動態(tài)效應
簡單數(shù)學模型和求解
從Kepler行星運動定律到萬有引力定律
習題
§6定積分的數(shù)值計算
數(shù)值積分
Newton-Cotes求積公式
復化求積公式
Gauss型求積公式
計算實習題
第八章反常積分
§1反常積分的概念和計算
反常積分
反常積分計算
習題
計算實習題
§2反常積分的收斂判別法
反常積分的Cauchy收斂原理
非負函數(shù)反常積分的收斂判別法
一般函數(shù)反常積分的收斂判別法
無界函數(shù)反常積分的收斂判別法
習題
索引