流形的拓?fù)鋵W(xué)

第1章 基本定義
1.1 定義和例
1.2 光滑函數(shù)與光滑映射
1.3 字流形和隱函數(shù)定理
1.4 技術(shù)性的問題
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第2章 切叢
2.1 流形的切叢
2.2 內(nèi)在的描述
2.3 切空間的幾何意義
2.4 球面的切叢
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第3章 矢量叢
3.1 定義和例
3.2 矢量叢上的運(yùn)算
3.3 叢的正合序列、分裂和一的分裂
3.4 法叢
3.5 仿緊性與一的分割
第4章 流形上的微分學(xué)
4.1 方向?qū)?shù)和矢量場
4.2 矢量場的幾何，積分曲線
4.3 括弧運(yùn)算和Frobenius定理
4.4 矢量場的拓?fù)鋵W(xué)
4.5 附錄
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第5章 Lie群
5.1 Lie群的Lie代數(shù)
5.2 局部同構(gòu)，Sophus Lie的基本定理
5.3 指數(shù)映射，較深的結(jié)果
5.4 Lie群上的Taylor級數(shù)展開市，更多的應(yīng)用
5.5 解析結(jié)構(gòu)和存在性定理
5.6 單連通Lie群
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第6章 微分形式
6.1 引言
6.2 函數(shù)的微分與一次微分形式
6.3 外代數(shù)的概述
6.4 高次微分形式
6.5 其它問題
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第7章 積分
7.1 引言
7.2 單形
7.3 矢量空間中的積分
7.4 流形上的積分
7.5 應(yīng)用
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第8章 de Rham 定理
8.1 例和概述
8.2 奇異同調(diào)和de Rham定理
8.3 單純形同調(diào)
8.4 de Rham定理的證明
8.5 復(fù)流形和Dolbeault上同調(diào)，一個簡短的插曲
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第9章 同調(diào)理論
9.1 一般的代數(shù)知識
9.2 正合性
9.3 同倫，單純逼近
9.4 切除和Mayer-Vietoris序列
9.5 應(yīng)用
9.6 CW復(fù)形和進(jìn)一步的計算
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第10章 上同調(diào)
10.1 引言
10.2 Pontrjagin對偶性
10.3 乘積空間和Kunneth公式
10.4 “上”積（Cup Product）與“卡”積（Cup Product）
10.5 Thom同構(gòu)定理
10.6 Hopf不變量
第11章 Poincare對偶性
11.1 引言
11.2 基本類
11.3 Poincare對偶定理
11.4 Thom-Pontrjagin構(gòu)造
11.5 相交理論
第12章 纖維叢通論
12.1 引言
12.2 具有構(gòu)造群的纖維叢
12.3 主叢
12.4 構(gòu)造群的改變
12.5 萬有叢和分類空間
12.6 覆蓋同倫性質(zhì)
12.7 雜記
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第13章 示性類
13.1 圓群G=S和對合G=Z的示性類
13.2 酉群U（n）的示性類（陳類）與正交群O(n)的示性類（Stiefel-Whitney類）
13.3 計算
13.4 其它的講法
13.5 Pontrjagin 類
13.6 K-群和陳特征標(biāo)
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第14章 表示論通論
14.1 引言
14.2 一般概念
14.3 緊群和不變積分
14.4 特權(quán)標(biāo)與權(quán)
14.5 極大環(huán)面與E.Cartan定理
14.6 實(shí)表示
14.7 根與Weyl定理
14.8 E.Cartan定理
14.9 其它評述
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第15章 示性類緒論
15.1 Borel-Hirzebruch格式
15.2 齊性空間上的計算
15.3 H*（BO（n）;Q）和H*(BSO(n);Q)的計算
15.4 Pontrjagin數(shù)和配邊不變性
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第16章 Hirzebruch指標(biāo)定理
16.1 流形的指標(biāo)
16.2 配邊環(huán)的構(gòu)造
16.3 乘法序列
16.4 Milnor的怪球
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第17章 Laplace 方程和Hodge理論
17.1 偏微分方程（PDE）概況
17.2 調(diào)和函數(shù)
17.3 Laplace-Beltrami算子
17.4 Hirzebruch指標(biāo)定理的另一表述
17.5 Hodge 定理的證明，總的思路
17.6 Hodge 定理的證明，一個特例
17.7 Hodge定理的證明，一般情況
17.8 澄清，微分幾何概述
17.9 復(fù)情況
第18章 Riemann-Roch定理
18.1 亞純函數(shù)
18.2 Cech構(gòu)造和層
18.3 層的上同調(diào)
18.4 Riemann-Roch定理
18.5 Riemann-Roch定理的Hirzebruch推廣
18.6 其它的評述
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第19章 Atiyah-Singer指標(biāo)定理
19.1 矢量叢上的一般微分算子
19.2 橢圓算子的解析指標(biāo)，Hodge理論
19.3 K理論概述
19.4 Todd虧數(shù)和拓?fù)渲笜?biāo)
19.5 Atiyah-Singer指標(biāo)定理
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第20章 曲率和相關(guān)問題
20.1 曲率
20.2 曲面的Gauss-Bonnet定理
20.3 曲率和示性類
20.4 主從上的聯(lián)絡(luò)
20.5 Yang-Mills泛函
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