數學的發(fā)現：對解題的理解、研究和講授

譯者的話
第一卷序言
第二卷序言
修訂版序言
合訂版序言
寄言中學教師
對讀者的提示
第一部分　模型
第1章　雙軌跡的模型
§1.1幾何作圖
§1.2從例子到數學模型
§1.3例子
§1.4設想問題已經解出來了
§1.5相似圖形的模型
§1.6例子
§1.7輔助圖形的模型
第1章的習題與評注
第2章　笛卡兒(Descartes)模型
§2.1笛卡兒和他的萬能方法
§2.2一個小問題
§2.3列方程
§2.4課堂舉例
§2.5幾何中的例子
§2.6一個物理中的例子
§2.7一個益智游戲
§2.8兩個迷惑人的例子
第2章的習題與評注
第3章　遞歸
§3.1一個小小發(fā)現的故事
§3.2帽子里掏出來的兔子
§3.3不要光看不練
§3.4遞歸
§3.5符咒(abracadabra)
§3.6帕斯卡(Pascal)三角形
§3.7數學歸納法
§3.8繼續(xù)前進
§3.9觀察，推廣，證明，再證明
第3章的習題與評注
第4章　疊加
§4.1插值法
§4.2一個特殊情形
§4.3組合特殊情形以得出一般情形的解
§4.4數學模型
第4章的習題與評注
第二部分通向一般方法
第5章　問題
§5.1什么是問題?
§5.2問題的分類
§5.3求解的問題
§5.4求證的問題
§5.5未知量的元，條件的分款
§5.6所要求的：程序
第5章的習題與評注
第6章　擴大模型的范圍
§6.1擴大笛卡兒模型的范圍
§6.2擴大雙軌跡模型的范圍
§6.3從哪一個分款著手
§6.4擴大遞歸模型的范圍
§6.5未知量的逐步征服
第6章的習題與評注
第7章　解題過程的幾何圖示
§7.1隱喻
§7.2問題是什么?
§7.3這是一個主意
§7.4發(fā)展我們的想法
§7.5徹底完成它
§7.6慢鏡頭
§7.7預習
§7.8計劃和程序
§7.9題中之題
§7.10想法的產生
§7.11思維的作用
§7.12思維的守則
第7章的習題與評注
第8章　計劃和程序
§8.1一個制訂計劃的模型
§8.2更一般的模型
§8.3程序
§8.4在幾個計劃中選擇
§8.5計劃與程序
§8.6模型與計劃
第8章的習題與評注
第9章　題中之題
§9.1輔助問題：達到目的的手段
§9.2等價問題：雙側變形
§9.3等價問題的鏈
§9.4較強或較弱的輔助問題：單側變形
§9.5間接的輔助問題
§9.6材料上的幫助，方法論方面的幫助，激起的聯(lián)想，
導引，演習
第9章的習題與評注
第10章　想法的產生
§10.1一線光明
§10.2例子
§10.3輔助想法的特征
§10.4想法有賴于機會
第10章的習題與評注
第11章　思維的作用
§11.1我們怎樣思考
§11.2有了一個問題
§11.3相關性
§11.4接近度
§11.5預見
§11.6探索范圍
§11.7決斷
§11.8動員與組織
§11.9辨認與回憶
§11.10充實與重新配置
§11.11分離與組合
§11.12一張圖表
§11.13部分啟示著整體
第11章的習題與評注
第12章　思維的守則
§12.1應該怎樣思考
§12.2集中目標
§12.3估計前景
§12.4所要求的：途徑
§12.5所要求的：更有希望的局面
§12.6所要求的：有關的知識
§12.7所要求的：重新估計形勢
§12.8提問題的藝術
第12章的習題與評注
第13章　發(fā)現的規(guī)則?
§13.1形形色色的規(guī)則
§13.2合理性
§13.3經濟，但并不預加限制
§13.4堅持，但有變化
§13.5擇優(yōu)規(guī)則
§13.6問題所固有的材料
§13.7用得著的知識
§13.8輔助問題
§13.9總結
第13章的習題與評注
第14章　關于學、教和學教
§14.1教不是一種科學
§14.2教學的目標
§14.3教是一種藝術
§14.4學習三原則
§14.5教學的三原則
§14.6例子
§14.7學習教學
§14.8教師的思和行
第14章的習題與評注
第15章　猜測和科學方法
§15.1課堂水平的研究問題
§15.2例子
§15.3討論
§15.4另一個例子
§15.5歸納論述的圖示
§15.6一個歷史上的例
§15.7科學的方法：猜測和檢驗
§15.8“研究題目”若干應有的特征
§15.9結論
第15章　的習題與評注
習題解答
第一卷附錄　給教師及教師的教師的提示
第二卷附錄　補充習題與解答
習題
解答
參考文獻
后記