近世代數(shù)概論（第5版）

第1章　整數(shù)　1
1.1　交換環(huán) 整環(huán)　1
1.2　交換環(huán)的基本性質(zhì)　2
1.3　有序整環(huán)的性質(zhì)　7
1.4　良序原則　9
1.5　數(shù)學(xué)歸納法 指數(shù)定律　10
1.6　可除性　13
1.7　歐幾里得算法　14
1.8　算術(shù)基本定理　18
1.9　同余式　20
1.10　環(huán)　 23
1.11　集合 函數(shù) 關(guān)系　26
1.12　同構(gòu)與自同構(gòu)　29
第2章　有理數(shù)和域　31
2.1　域的定義　31
2.2　有理數(shù)域的構(gòu)造　35
2.3　聯(lián)立線性方程　39
2.4　有序域　43
*2.5　正整數(shù)公設(shè)　45
*2.6　皮亞諾公設(shè)　48
第3章　多項(xiàng)式　52
3.1　多項(xiàng)式形式　52
3.2　多項(xiàng)式函數(shù)　55
3.3　交換環(huán)的同態(tài)　59
*3.4　多元多項(xiàng)式　61
3.5　輾轉(zhuǎn)相除法　63
3.6　單位與相伴　65
3.7　不可約多項(xiàng)式　67
3.8　唯一因子分解定理　69
*3.9　其他唯一因子分解整環(huán)　72
*3.10　愛森斯坦不可約判別準(zhǔn)則　76
*3.11　部分分式　78
第4章　實(shí)數(shù)　82
4.1　畢達(dá)哥拉斯二難推論　82
4.2　上界與下界　83
4.3　實(shí)數(shù)公設(shè)　85
4.4　多項(xiàng)式方程的根　87
*4.5　戴德金分割　90
第5章　復(fù)數(shù)　94
5.1　復(fù)數(shù)的定義　94
5.2　復(fù)平面　96
5.3　代數(shù)基本定理　99
5.4　共軛數(shù)與實(shí)多項(xiàng)式　102
*5.5　二次方程與三次方程　104
*5.6　四次方程的根式解法　106
*5.7　穩(wěn)定型方程　107
第6章　群　109
6.1　正方形的對(duì)稱　109
6.2　變換群　111
6.3　其他例子　115
6.4　抽象群　117
6.5　同構(gòu)　120
6.6　循環(huán)群　123
6.7　子群　126
6.8　拉格朗日定理　128
6.9　置換群　131
6.10　偶置換與奇置換　134
6.11　同態(tài)　136
6.12　自同構(gòu) 共軛元素　138
*6.13　商群　141
*6.14　等價(jià)關(guān)系與同余關(guān)系　144
第7章　向量與向量空間　147
7.1　平面向量　147
7.2　推廣　148
7.3　向量空間與子空間　150
7.4　線性無關(guān)與維數(shù)　153
7.5　矩陣與行等價(jià)　157
7.6　線性相關(guān)的檢驗(yàn)　159
7.7　向量方程 齊次方程　163
7.8　基與坐標(biāo)系　167
7.9　內(nèi)積　172
7.10　歐幾里得向量空間　174
7.11　標(biāo)準(zhǔn)正交基　177
7.12　商空間　179
*7.13　線性函數(shù)與對(duì)偶空間　181
第8章　矩陣代數(shù)　186
8.1　線性變換與矩陣　186
8.2　矩陣加法　192
8.3　矩陣乘法　193
8.4　對(duì)角矩陣 置換矩陣 三角形矩陣　198
8.5　長(zhǎng)方矩陣　201
8.6　逆矩陣　205
8.7　秩與零度　210
8.8　初等矩陣　212
8.9　等價(jià)與標(biāo)準(zhǔn)型　216
*8.10　雙線性函數(shù)與張量積　218
*8.11　四元數(shù)　222
第9章　線性群　226
9.1　基的變換　226
9.2　相似矩陣與特征向量　228
9.3　全線性群與仿射群　233
9.4　正交群與歐幾里得群　236
9.5　不變量與標(biāo)準(zhǔn)型　240
9.6　線性型與雙線性型　242
9.7　二次型　245
9.8　全線性群之下的二次型　247
9.9　全線性群之下的實(shí)二次型　250
9.10　正交群之下的二次型　252
9.11　仿射群和歐幾里得群之下的二次型　256
*9.12　酉矩陣與埃爾米特矩陣　260
*9.13　仿射幾何　263
*9.14　射影幾何　270
第10章　行列式與標(biāo)準(zhǔn)型　275
10.1　行列式的定義和基本性質(zhì)　275
10.2　行列式的乘積　279
10.3　作為體積的行列式　282
10.4　特征多項(xiàng)式　286
10.5　極小多項(xiàng)式　290
10.6　凱萊-哈密頓定理　294
10.7　不變子空間與可約性　295
10.8　第一分解定理　299
10.9　第二分解定理　301
10.10　有理標(biāo)準(zhǔn)型與若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型　304
第11章 布爾代數(shù)與格　307
11.1　基本定義　307
11.2　定律：同算術(shù)定律類比　308
11.3　布爾代數(shù)　310
11.4　其他基本定律的推導(dǎo)　313
11.5　布爾多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)型　315
11.6　半序　318
11.7　格　320
11.8　集合表示　323
第12章　超限算術(shù)　327
12.1　數(shù)與集合　327
12.2　可數(shù)集　329
12.3　其他基數(shù)　331
*12.4　基數(shù)的加法與乘法　334
*12.5　取冪　335
第13章　環(huán)與理想　338
13.1　環(huán)　338
13.2　同態(tài)　341
13.3　商環(huán)　345
*13.4　理想的代數(shù)　347
13.5　多項(xiàng)式理想　350
*13.6　線性代數(shù)中的理想　353
13.7　環(huán)的特征　355
13.8　域的特征　357
第14章　代數(shù)數(shù)域　359
14.1　代數(shù)擴(kuò)張與超越擴(kuò)張　359
14.2　域上的代數(shù)元素　361
14.3　根的添加　363
14.4　次數(shù)與有限擴(kuò)張　365
14.5　多重代數(shù)擴(kuò)張　368
14.6　代數(shù)數(shù)　371
14.7　高斯整數(shù)　374
14.8　代數(shù)整數(shù)　377
14.9　代數(shù)整數(shù)的和與積　379
14.10　二次代數(shù)整數(shù)的因子分解　381
第15章　伽羅瓦理論　385
15.1　方程的根域　385
15.2　唯一性定理　387
15.3　有限域　388
15.4　伽羅瓦群　391
15.5　可分多項(xiàng)式與不可分多項(xiàng)式　395
15.6　伽羅瓦群的性質(zhì)　397
15.7　子群與子域　399
15.8　三次不可約方程　402
15.9　五次方程的不可解性　406
參考文獻(xiàn)　410
數(shù)學(xué)符號(hào)表　413
索引　416