數(shù)論導(dǎo)引（第5版）

第1章　素?cái)?shù)(1)　1
1.1　整除性　1
1.2　素?cái)?shù)　2
1.3　算術(shù)基本定理的表述　3
1.4　素?cái)?shù)序列　4
1.5　關(guān)于素?cái)?shù)的某些問(wèn)題　5
1.6　若干記號(hào)　6
1.7　對(duì)數(shù)函數(shù)　8
1.8　素?cái)?shù)定理的表述　9
本章附注　10　
第2章　素?cái)?shù)(2)　11
2.1　Euclid第二定理的第一個(gè)證明　11
2.2　Euclid方法的推論　11
2.3　某種算術(shù)級(jí)數(shù)中的素?cái)?shù)　12
2.4　Euclid定理的第二個(gè)證明　13
2.5　Fermat數(shù)和Mersenne數(shù)　14
2.6　Euclid定理的第三個(gè)證明　16
2.7　關(guān)于素?cái)?shù)公式的進(jìn)一步結(jié)果　17
2.8　關(guān)于素?cái)?shù)的未解決的問(wèn)題　18
2.9　整數(shù)?！?9
2.10　算術(shù)基本定理的證明　20
2.11　基本定理的另一個(gè)證明　21
本章附注　21　
第3章　Farey數(shù)列和Minkowski定理　23
3.1　Farey數(shù)列的定義和最簡(jiǎn)單的性質(zhì)　23
3.2　兩個(gè)特征性質(zhì)的等價(jià)性　24
3.3　定理28和定理29的第一個(gè)證明　25
3.4　定理28和定理29的第二個(gè)證明　25
3.5　整數(shù)格　26
3.6　基本格的某些簡(jiǎn)單性質(zhì)　27
3.7　定理28和定理29的第三個(gè)證明　29
3.8　連續(xù)統(tǒng)的Farey分割　29
3.9　Minkowski定理　30
3.10　Minkowski定理的證明　32
3.11　定理37的進(jìn)一步拓展　33
本章附注　35　
第4章　無(wú)理數(shù)　37
4.1　概論　37
4.2　已知的無(wú)理數(shù)　38
4.3　Pythagoras定理及其推廣　38
4.4　基本定理在定理43至定理45證明中的應(yīng)用　40
4.5　歷史雜談　41
4.6　sqrt5無(wú)理性的幾何證明　42
4.7　更多的無(wú)理數(shù)　43
本章附注　45　
第5章　同余和剩余　47
5.1　最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)　47
5.2　同余和剩余類　48
5.3　同余式的初等性質(zhì)　49
5.4　線性同余式　50
5.5　Euler函數(shù)φ(m)　52
5.6　把定理59和定理61應(yīng)用到三角和中　54
5.7　一個(gè)一般性的原理　57
5.8　正十七邊形的構(gòu)造　58
本章附注　62　
第6章　Fermat定理及其推論　64
6.1　Fermat定理　64
6.2　二項(xiàng)系數(shù)的某些性質(zhì)　65
6.3　定理72的第二個(gè)證明　67
6.4　定理22的證明　67
6.5　二次剩余　68
6.6　定理79的特例：Wilson定理　70
6.7　二次剩余和非剩余的初等性質(zhì)　71
6.8　a(mod m)的階　73
6.9　Fermat定理的逆定理　74
6.10　2p-1-1是否能被p2整除　75
6.11　Gauss引理和2的二次特征　76
6.12　二次互倒律　79
6.13　二次互倒律的證明　81
6.14　素?cái)?shù)的判定　82
6.15　Mersenne數(shù)的因子和Euler定理　84
本章附注　84　
第7章　同余式的一般性質(zhì)　86
7.1　同余式的根　86
7.2　整多項(xiàng)式和恒等同余式　86
7.3　多項(xiàng)式(mod m)的整除性　88
7.4　素?cái)?shù)模同余式的根　88
7.5　一般定理的某些應(yīng)用　90
7.6　Fermat定理和Wilson定理的Lagrange證明　92
7.7　[1/2( p–1)]!的剩余　93
7.8　Wolstenholme定理　94
7.9　von Staudt定理　95
7.10　von Staudt定理的證明　97
本章附注　99　
第8章　復(fù)合模的同余式　100
8.1　線性同余式　100
8.2　高次同余式　102
8.3　素?cái)?shù)冪模的同余式　102
8.4　例子　104
8.5　Bauer的恒等同余式　105
8.6　Bauer的同余式：p=2的情形　107
8.7　Leudesdorf的一個(gè)定理　108
8.8　Bauer定理的進(jìn)一步的推論　110
8.9　2p-1和(p-1)!關(guān)于模p2的同余式　112
本章附注　114
第9章　用十進(jìn)制小數(shù)表示數(shù)　115
9.1　與給定的數(shù)相伴的十進(jìn)制小數(shù)　115
9.2　有限小數(shù)和循環(huán)小數(shù)　118
9.3　用其他進(jìn)位制表示數(shù)　119
9.4　用小數(shù)定義無(wú)理數(shù)　120
9.5　整除性判別法　122
9.6　有最大周期的十進(jìn)制小數(shù)　122
9.7　Bachet的稱重問(wèn)題　123
9.8　Nim博弈　125
9.9　缺失數(shù)字的整數(shù)　127
9.10　測(cè)度為零的集合　128
9.11　缺失數(shù)字的十進(jìn)制小數(shù)　130
9.12　正規(guī)數(shù)　131
9.13　幾乎所有的數(shù)都是正規(guī)數(shù)的證明　133
本章附注　136
第10章　連分?jǐn)?shù)　137
10.1　有限連分?jǐn)?shù)　137
10.2　連分?jǐn)?shù)的漸近分?jǐn)?shù)　138
10.3　商為正的連分?jǐn)?shù)　139
10.4　簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)　140
10.5　用簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)表示不可約有理分?jǐn)?shù)　141
10.6　連分?jǐn)?shù)算法和Euclid算法　143
10.7　連分?jǐn)?shù)與其漸近分?jǐn)?shù)的差　145
10.8　無(wú)限簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)　147
10.9　用無(wú)限連分?jǐn)?shù)表示無(wú)理數(shù)　148
10.10　一個(gè)引理　150
10.11　等價(jià)的數(shù)　151
10.12　周期連分?jǐn)?shù)　154
10.13　某些特殊的二次根式　156
10.14　Fibonacci數(shù)列和Lucas數(shù)列　158
10.15　用漸近分?jǐn)?shù)作逼近　161
本章附注　165　
第11章　用有理數(shù)逼近無(wú)理數(shù)　166
11.1　問(wèn)題的表述　166
11.2　問(wèn)題的推廣　167
11.3　Dirichlet的一個(gè)論證方法　168
11.4　逼近的階　170
11.5　代數(shù)數(shù)和超越數(shù)　171
11.6　超越數(shù)的存在性　172
11.7　Liouville定理和超越數(shù)的構(gòu)造　173
11.8　對(duì)任意無(wú)理數(shù)的最佳逼近的度量　175
11.9　有關(guān)連分?jǐn)?shù)的漸近分?jǐn)?shù)的另一個(gè)定理　176
11.10　具有有界商的連分?jǐn)?shù)　177
11.11　有關(guān)逼近的進(jìn)一步定理　180
11.12　聯(lián)立逼近　182
11.13　e的超越性　182
11.14　π的超越性　186
本章附注　189
第12章　k(1), k(i), k(p)zhongde算術(shù)基本定理　
12.1　代數(shù)數(shù)和代數(shù)整數(shù)　191
12.2　有理整數(shù)、Gauss整數(shù)和k(p)中的整數(shù)　191
12.3　Euclid算法　193
12.4　將Euclid算法應(yīng)用到k(1)中的基本定理　193
12.5　關(guān)于Euclid算法和基本定理的歷史注釋　195
12.6　Gauss整數(shù)的性質(zhì)　195
12.7　k(i)中的素元　197
12.8　k(i)中的算術(shù)基本定理　199
12.9　k(p)中的整數(shù)　201
本章附注　204
第13章　某些Diophantus方程　205
13.1　Fermat大定理　205
13.2　方程x2+y2=z2　205
13.3　方程x4+y4=z4　206
13.4　方程x3+y3=z3　208
13.5　方程x3+y3=3z3　211
13.6　用有理數(shù)的三次冪之和表示有理數(shù)　213
13.7　方程x3+y3+z3=t3　215
本章附注　218　
第14章　二次域(1)　220
14.1　代數(shù)數(shù)域　220
14.2　代數(shù)數(shù)和代數(shù)整數(shù), 本原多項(xiàng)式　221
14.3　一般的二次域k(√m 222
14.4　單位和素元　223
14.5　k(√2）中的單位　225
14.6　基本定理不成立的數(shù)域　227
14.7　復(fù)Euclid域　228
14.8　實(shí)Euclid域　230
14.9　實(shí)Euclid域(續(xù))　232
本章附注　234　
第15章　二次域(2)　235
15.1　k(i)中的素元　235
15.2　k(i)中的Fermat定理　236
15.3　k(o)中的素元　237
15.4　k(sqrt 2)和k(sqrt 5)中的素元　238
15.5　Mersenne數(shù)M4n+3的素性的Lucas判別法　241
15.6　二次域算術(shù)上的一般性注釋　243
15.7　二次域中的理想　244
15.8　其他的域　247
本章附注　248
第16章　算術(shù)函數(shù)φ(n),μ(n),d(n),σ(n),r(n)　249
16.1　函數(shù)φ(n)　249
16.2　定理63的進(jìn)一步證明　250
16.3　M\oius函數(shù)　250
16.4　Moius反轉(zhuǎn)公式　252
16.5　進(jìn)一步的反轉(zhuǎn)公式　253
16.6　Ramanujan和的估計(jì)　253
16.7　函數(shù)d(n)和σk(n)　255
16.8　完全數(shù)　256
16.9　函數(shù)r(n)　257
16.10　r(n)公式的證明　258
本章附注　259　
第17章　算術(shù)函數(shù)的生成函數(shù)　261
17.1　由Dirichlet級(jí)數(shù)生成算術(shù)函數(shù)　261
17.2　ζ函數(shù)　262
17.3　ζ(s)在s→1時(shí)的性狀　263
17.4　Dirichlet級(jí)數(shù)的乘法　265
17.5　某些特殊算術(shù)函數(shù)的生成函數(shù)　267
17.6　Moius公式的解析說(shuō)明　268
17.7　函數(shù)A\(n)　271
17.8　生成函數(shù)的進(jìn)一步例子　273
17.9　r(n)的生成函數(shù)　274
17.10　其他類型的生成函數(shù)　275
本章附注　277　
第18章　算術(shù)函數(shù)的階　279
18.1　d(n)的階　279
18.2　d(n)的平均階　282　　
18.3　σ(n)的階　285
18.4　φ(n)的階　286
18.5　φ(n)的平均階　287
18.6　無(wú)平方因子數(shù)的個(gè)數(shù)　288
18.7　r(n)的階　289
本章附注　291
第19章　分劃　292
19.1　加性算術(shù)的一般問(wèn)題　292
19.2　數(shù)的分劃　292
19.3　p(n)的生成函數(shù)　293
19.4　其他的生成函數(shù)　295
19.5　Euler的兩個(gè)定理　296
19.6　進(jìn)一步的代數(shù)恒等式　298
19.7　F(x)的另一個(gè)公式　299
19.8　Jacobi定理　300
19.9　Jacobi恒等式的特例　302
19.10　定理353的應(yīng)用　304
19.11　定理358的初等證明　305
19.12　p(n)的同余性質(zhì)　306
19.13　Rogers-Ramanujan恒等式　308
19.14　定理362和定理363的證明　310
19.15　Ramanujan連分?jǐn)?shù)　312
本章附注　314　
第20章　用兩個(gè)或四個(gè)平方和表示數(shù)　316
20.1　Waring問(wèn)題：數(shù)g(k)和G(k)　316
20.2　平方和　317
20.3　定理366的第二個(gè)證明　318
20.4　定理366的第三個(gè)和第四個(gè)證明　319
20.5　四平方定理　320
20.6　四元數(shù)　322
20.7　關(guān)于整四元數(shù)的預(yù)備定理　324
20.8　兩個(gè)四元數(shù)的最高右公約數(shù)　326
20.9　素四元數(shù)和定理370的證明　327
20.10　g(2)和G(2)的值　329
20.11　定理369的第三個(gè)證明的引理　329
20.12　定理369的第三個(gè)證明：表法個(gè)數(shù)　330
20.13　用多個(gè)平方和表示數(shù)　333
本章附注　334
第21章　用立方數(shù)以及更高次冪,表示數(shù)　336
21.1　四次冪　336
21.2　三次冪：G(3)和g(3)的存在性　337
21.3　g(3)的界　338
21.4　更高次冪　339
21.5　g(k)的一個(gè)下界　340
21.6　G(k)的下界　341
21.7　受符號(hào)影響的和：數(shù)v(k)　344
21.8　v(k)的上界　345
21.9　Prouhet-Tarry問(wèn)題：數(shù)P(k,j)　347
21.10　對(duì)特殊的k和j, P(k,j)的估計(jì)　349
21.11　Diophantus分析的進(jìn)一步問(wèn)題　351
本章附注　354　
第22章　素?cái)?shù)(3)　360
22.1　函數(shù)θ(x)和ψ(x)　360
22.2　θ(x)和ψ(x)的階為x的證明　361
22.3　Bertrand假設(shè)和一個(gè)關(guān)于素?cái)?shù)的“公式”　363
22.4　定理7和定理9的證明　366
22.5　兩個(gè)形式變換　367
22.6　一個(gè)重要的和　368
22.7　∑p-1與∏(1–p-1)　　 370
22.8　Mertens定理　372
22.9　定理323和定理328的證明　374
22.10　n的素因子個(gè)數(shù)　376
22.11　ω(n)和Ω(n)的正規(guī)階　377
22.12　關(guān)于圓整數(shù)的一個(gè)注解　379
22.13　d(n)的正規(guī)階　380
22.14　Selberg定理　381
22.15　函數(shù)R(x)和V(ξ)　383
22.16　定理434、定理6和定理8證明的完成　386
22.17　定理335的證明　389
22.18　k個(gè)素因子的乘積　389
22.19　區(qū)間中的素?cái)?shù)　392
22.20　關(guān)于素?cái)?shù)對(duì)p,p+2分布的一個(gè)猜想　393
本章附注　395
第23章　Kronecker定理　397
23.1　一維的Kronecker定理　397
23.2　一維定理的證明　398
23.3　反射光線的問(wèn)題　400
23.4　一般定理的表述　402
23.5　定理的兩種形式　403
23.6　一個(gè)例證　405
23.7　Kronecker定理的Lettenmeyer證明　405
23.8　Kronecker定理的Estermann證明　407
23.9　Kronecker定理的Bohr證明　409
23.10　一致分布　411
本章附注　413　
第24章　數(shù)的幾何　414
24.1　基本定理的導(dǎo)引和重新表述　414
24.2　簡(jiǎn)單的應(yīng)用　415
24.3　定理448的算術(shù)證明　417
24.4　最佳不等式　419
24.5　關(guān)于ξ2+ξ2的最佳不等式　420
24.6　關(guān)于ξ2+η2 的最佳不等式　421
24.7　關(guān)于非齊次型的一個(gè)定理　423
24.8　定理455的算術(shù)證明　425
24.9　Tchebotaref定理　426
24.10　Minkowski定理(定理446)的逆定理　428
本章附注　432　
附錄　436
參考書(shū)目　438
特殊符號(hào)以及術(shù)語(yǔ)索引　441
常見(jiàn)人名對(duì)照表　444
總索引　446
補(bǔ)遺　457