工程數(shù)值方法（第6版）

第1部分 建模、計(jì)算機(jī)與誤差分析問題 1
PT1.1 動機(jī) 2
PT1.1.1 非計(jì)算機(jī)方法 2
PT1.1.2 數(shù)值方法與工程實(shí)踐 3
PT1.2 數(shù)學(xué)背景 4
PT1.3 導(dǎo)讀 6
PT1.3.1 范圍與預(yù)覽 6
PT1.3.2 目標(biāo) 7
第1章 數(shù)學(xué)建模與工程問題求解 9
1.1 一個(gè)簡單的數(shù)學(xué)模型 9
1.2 守恒律與工程 15
習(xí)題 18
第2章 程序設(shè)計(jì)與軟件 24
2.1 軟件包與程序設(shè)計(jì) 24
2.2 結(jié)構(gòu)化程序設(shè)計(jì) 25
2.3 模塊化程序設(shè)計(jì) 33
2.4 Excel 35
2.5 MATLAB 38
2.6 MATHCAD 42
2.7 其他的語言和軟件庫 43
習(xí)題 43
第3章 逼近與舍入誤差 52
3.1 有效數(shù)字 53
3.2 準(zhǔn)確度與精度 54
3.3 誤差的定義 55
3.4 舍入誤差 60
3.4.1 數(shù)的計(jì)算機(jī)表示 60
3.4.2 計(jì)算機(jī)中的算術(shù)運(yùn)算 67
習(xí)題 72
第4章 截?cái)嗾`差與泰勒級數(shù) 74
4.1 泰勒級數(shù) 74
4.1.1 泰勒級數(shù)展開的余項(xiàng) 80
4.1.2 用泰勒級數(shù)估計(jì)截?cái)嗾`差 82
4.1.3 數(shù)值微分 86
4.2 誤差傳播 90
4.2.1 單變量函數(shù) 90
4.2.2 多變量函數(shù) 91
4.2.3 穩(wěn)定性與穩(wěn)定條件 93
4.3 總數(shù)值誤差 94
4.3.1 數(shù)值微分的誤差分析 95
4.3.2 數(shù)值誤差的控制 97
4.4 粗差、形式化誤差和數(shù)據(jù)的不確定性 98
4.4.1 粗差 98
4.4.2 形式化誤差 99
4.4.3 數(shù)據(jù)的不確定性 99
習(xí)題 99
第1部分 結(jié)束語 103
PT1.4 權(quán)衡 103
PT1.5 重要的關(guān)系式與公式 105
PT1.6 高級方法與其他參考文獻(xiàn) 105
第2部分 方程求根 107
PT2.1 動機(jī) 108
PT2.1.1 求根的非計(jì)算機(jī)方法 108
PT2.1.2 方程求根和工程實(shí)踐 108
PT2.2 數(shù)學(xué)背景 110
PT2.3 導(dǎo)讀 110
PT2.3.1 范圍與預(yù)覽 111
PT2.3.2 目標(biāo) 112
第5章 劃界法 113
5.1 圖解法 113
5.2 二分法 117
5.2.1 終止條件和誤差估計(jì) 119
5.2.2 二分算法 123
5.2.3 最小化函數(shù)的計(jì)算量 123
5.3 試位法 124
5.3.1 試位法的缺陷 127
5.3.2 改進(jìn)的試位法 129
5.4 增量搜索和確定初始估計(jì)值 130
習(xí)題 130
第6章 開方法 136
6.1 簡單定點(diǎn)迭代法 137
6.1.1 收斂性 138
6.1.2 定點(diǎn)迭代算法 141
6.2 牛頓-瑞普遜法 142
6.2.1 終止條件和誤差估計(jì) 143
6.2.2 牛頓-瑞普遜法的缺點(diǎn) 145
6.2.3 牛頓-瑞普遜算法 147
6.3 正割法 148
6.3.1 正割法和試位法的差異 149
6.3.2 正割法算法 151
6.3.3 改進(jìn)的正割法 151
6.4 布倫特法 152
6.4.1 逆二次插值法 152
6.4.2 布倫特法的算法 155
6.5 重根 156
6.6 非線性方程組 159
6.6.1 定點(diǎn)迭代法 160
6.6.2 牛頓-瑞普遜法 162
習(xí)題 164
第7章 多項(xiàng)式求根 169
7.1 工程和科學(xué)中的多項(xiàng)式 169
7.2 多項(xiàng)式計(jì)算 172
7.2.1 多項(xiàng)式計(jì)算和微分 172
7.2.2 多項(xiàng)式緊縮 172
7.3 傳統(tǒng)方法 175
7.4 米勒法 175
7.5 貝爾斯托法 179
7.6 其他方法 184
7.7 使用軟件包求根 184
7.7.1 Excel 184
7.7.2 MATLAB 187
7.7.3 Mathcad 190
習(xí)題 192
第8章 方程求根案例分析 195
8.1 理想和非理想氣體定律(化學(xué)/生物工程) 195
8.2 溫室氣體和雨水(土木/環(huán)境工程) 197
8.3 電子電路的設(shè)計(jì)(電氣工程) 200
8.4 管道摩擦(機(jī)械/航空航天工程) 202
習(xí)題 205
第2部分 結(jié)束語 221
PT2.4 權(quán)衡 221
PT2.5 重要的關(guān)系式與公式 222
PT2.6 高級求根方法與其他參考文獻(xiàn) 223
第3部分 線性代數(shù)方程組 224
PT3.1 動機(jī) 225
PT3.1.1 求解方程組的非計(jì)算機(jī)方法 225
PT3.1.2 線性代數(shù)方程組和工程實(shí)踐 225
PT3.2 數(shù)學(xué)背景 227
PT3.2.1 矩陣概念 227
PT3.2.2 矩陣操作規(guī)則 229
PT3.2.3 用矩陣形式表示線性代數(shù)方程組 233
PT3.3 導(dǎo)讀 235
PT3.3.1 范圍與預(yù)覽 235
PT3.3.2 目標(biāo) 236
第9章 高斯消去法 237
9.1 求解小規(guī)模方程組 237
9.1.1 圖解法 237
9.1.2 行列式和克萊姆法則 239
9.1.3 未知數(shù)消去法 242
9.2 原始高斯消去法 243
9.3 消去法的缺陷 250
9.3.1 除以0的問題 250
9.3.2 舍入誤差 250
9.3.3 病態(tài)方程組 251
9.3.4 奇異方程組 255
9.4 解求精技術(shù) 255
9.4.1 使用更多的有效位 255
9.4.2 交換主元法 256
9.4.3 縮放 258
9.4.4 高斯消去算法 260
9.5 復(fù)數(shù)方程組 263
9.6 非線性方程組 263
9.7 高斯-約當(dāng)法 265
9.8 小結(jié) 267
習(xí)題 267
第10章 LU分解法和矩陣求逆 272
10.1 LU分解 272
10.1.1 LU分解概述 272
10.1.2 高斯消去法的LU分解 274
10.1.3 LU分解算法 279
10.1.4 Crout分解 280
10.2 矩陣求逆 282
10.2.1 計(jì)算逆矩陣 282
10.2.2 激勵(lì)-反應(yīng)計(jì)算 284
10.3 誤差分析和方程組條件 285
10.3.1 向量和矩陣的范數(shù) 286
10.3.2 矩陣條件數(shù) 289
10.3.3 迭代求精 290
習(xí)題 291
第11章 特殊矩陣和高斯–賽得爾方法 295
11.1 特殊矩陣 295
11.1.1 三對角方程組 296
11.1.2 Cholesky分解 298
11.2 高斯-賽得爾方法 300
11.2.1 高斯-賽得爾方法的收斂準(zhǔn)則 302
11.2.2 使用松弛方法提高收斂性 304
11.2.3 高斯-賽得爾算法 305
11.2.4 高斯-賽得爾方法的問題背景 306
11.3 使用軟件包求解線性代數(shù)方程組 306
11.3.1 Excel 306
11.3.2 MATLAB 307
11.3.3 Mathcad 309
習(xí)題 310
第12章 線性代數(shù)方程組案例分析 315
12.1 反應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分析(化學(xué)/生物工程) 315
12.2 分析靜止固定的支架(土木/環(huán)境工程) 318
12.3 電阻電路中的電流和電壓(電氣工程) 321
12.4 彈簧-質(zhì)量塊系統(tǒng)(機(jī)械/航空航天工程) 323
習(xí)題 326
第3部分 結(jié)束語 339
PT3.4 權(quán)衡 339
PT3.5 重要的關(guān)系式與公式 340
PT3.6 高級方法與其他參考文獻(xiàn) 341
第4部分 最優(yōu)化 342
PT4.1 動機(jī) 343
PT4.1.1 非計(jì)算機(jī)方法及其歷史 343
PT4.1.2 最優(yōu)化和工程實(shí)踐 344
PT4.2 數(shù)學(xué)背景 348
PT4.3 導(dǎo)讀 349
PT4.3.1 范圍與預(yù)覽 349
PT4.3.2 目標(biāo) 350
第13章 一維無約束最優(yōu)化 352
13.1 黃金分割搜索法 353
13.2 二次插值法 359
13.3 牛頓法 361
13.4 布倫特法 362
習(xí)題 364
第14章 多維無約束最優(yōu)化 367
14.1 直接法 367
14.1.1 隨機(jī)搜索法 368
14.1.2 單變量和模式檢索 370
14.2 梯度法 372
14.2.1 梯度和赫賽矩陣 372
14.2.2 最速上升法 377
14.2.3 改進(jìn)的梯度法 381
習(xí)題 383
第15章 約束優(yōu)化 385
15.1 線性規(guī)劃 385
15.1.1 標(biāo)準(zhǔn)形 385
15.1.2 圖解法 387
15.1.3 單純形法 390
15.2 非線性約束優(yōu)化 395
15.3 使用軟件包優(yōu)化求解 395
15.3.1 用Excel求解線性規(guī)劃問題 395
15.3.2 用Excel求解非線性優(yōu)化問題 397
15.3.3 用MATLAB求解優(yōu)化問題 400
15.3.4 用Mathcad求解優(yōu)化問題 403
習(xí)題 404
第16章 最優(yōu)化案例分析 409
16.1 一個(gè)桶的最小成本設(shè)計(jì)(化學(xué)/生物工程) 409
16.2 廢水處理的最小成本(土木/環(huán)境工程) 413
16.3 電路的最大功率傳輸(電氣工程) 417
16.4 平衡與最小勢能(機(jī)械/航空航天工程) 420
習(xí)題 421
第4部分結(jié)束語 433
PT4.4 權(quán)衡 433
PT4.5 其他參考文獻(xiàn) 434
第5部分 曲線擬合 435
PT5.1 動機(jī) 436
PT5.1.1 曲線擬合的非計(jì)算機(jī)方法 436
PT5.1.2 曲線擬合與工程實(shí)踐 437
PT5.2 數(shù)學(xué)背景 438
PT5.2.1 簡單統(tǒng)計(jì)學(xué) 438
PT5.2.2 正態(tài)分布 441
PT5.2.3 置信區(qū)間估計(jì) 442
PT5.3 導(dǎo)讀 447
PT5.3.1 范圍與預(yù)覽 447
PT5.3.2 目標(biāo) 448
第17章 最小二乘回歸 450
17.1 線性回歸 450
17.1.1 “最佳”擬合準(zhǔn)則 451
17.1.2 直線的最小二乘擬合 453
17.1.3 線性回歸的誤差量化分析 454
17.1.4 線性回歸的計(jì)算機(jī)程序 458
17.1.5 非線性關(guān)系的線性化 461
17.1.6 對線性回歸的一般討論 464
17.2 多項(xiàng)式回歸 465
17.3 多元線性回歸 468
17.4 一般線性最小二乘法 471
17.4.1 線性最小二乘的一般矩陣形式 471
17.4.2 從統(tǒng)計(jì)角度分析最小二乘理論 473
17.5 非線性回歸 475
習(xí)題 479
第18章 插值 484
18.1 牛頓差商插值多項(xiàng)式 484
18.1.1 線性插值 485
18.1.2 二次插值 486
18.1.3 牛頓插值多項(xiàng)式的一般形式 488
18.1.4 牛頓插值多項(xiàng)式的誤差 491
18.1.5 牛頓插值多項(xiàng)式的計(jì)算機(jī)算法 493
18.2 拉格朗日插值多項(xiàng)式 495
18.3 插值多項(xiàng)式的系數(shù) 499
18.4 逆插值 500
18.5 進(jìn)一步討論 501
18.6 樣條插值 503
18.6.1 線性樣條 505
18.6.2 二次樣條 507
18.6.3 三次樣條 509
18.6.4 三次樣條的計(jì)算機(jī)算法 512
18.7 多維插值 513
習(xí)題 515
第19章 傅里葉逼近 519
19.1 用正弦函數(shù)進(jìn)行曲線擬合 520
19.2 連續(xù)傅里葉級數(shù) 526
19.3 頻域與時(shí)域 530
19.4 傅里葉積分與變換 534
19.5 離散傅里葉變換(DFT) 535
19.6 快速傅里葉變換(FFT) 537
19.6.1 Sande-Tukey算法 538
19.6.2 Cooley-Tukey算法 542
19.7 能量譜 543
19.8 利用軟件包進(jìn)行曲線擬合 544
19.8.1 Excel 544
19.8.2 MATLAB 547
19.8.3 Mathcad 550
習(xí)題 551
第20章 曲線擬合案例分析 555
20.1 線性回歸與人口模型(化學(xué)/生物工程) 555
20.2 用樣條估計(jì)熱傳遞(土木/環(huán)境工程) 558
20.3 傅里葉分析(電氣工程) 560
20.4 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析(機(jī)械/航空航天工程) 561
習(xí)題 563
第5部分 結(jié)束語 580
PT5.4 權(quán)衡 580
PT5.5 重要的關(guān)系式與公式 581
PT5.6 高級方法與其他參考文獻(xiàn) 582
第6部分 數(shù)值微分和數(shù)值積分 584
PT6.1 動機(jī) 585
PT6.1.1 微分和積分的非計(jì)算機(jī)方法 588
PT6.1.2 工程中的數(shù)值微分和數(shù)值積分 590
PT6.2 數(shù)學(xué)背景 593
PT6.3 導(dǎo)讀 596
PT6.3.1 范圍與預(yù)覽 596
PT6.3.2 目標(biāo) 597
第21章 牛頓-柯特斯積分公式 599
21.1 梯形法則 600
21.1.1 梯形法則的誤差 602
21.1.2 多應(yīng)用型梯形法則 605
21.1.3 梯形法則的計(jì)算機(jī)算法 608
21.2 辛普森法則 610
21.2.1 辛普森1/3法則 610
21.2.2 多應(yīng)用型辛普森1/3法則 613
21.2.3 辛普森3/8法則 615
21.2.4 辛普森法則的計(jì)算機(jī)算法 617
21.2.5 高階牛頓-柯特斯閉型公式 618
21.3 非等距積分 618
21.4 開型積分公式 621
21.5 重積分 622
習(xí)題 624
第22章 函數(shù)的積分 629
22.1 函數(shù)的牛頓-柯特斯算法 630
22.2 龍貝格積分 631
22.2.1 理查森外推法 631
22.2.2 龍貝格積分的算法 634
22.3 自適應(yīng)積分 636
22.4 高斯求積公式 638
22.4.1 待定系數(shù)法 639
22.4.2 兩點(diǎn)高斯-勒讓德公式的推導(dǎo) 641
22.4.3 多點(diǎn)公式 643
22.4.4 高斯求積公式的誤差分析 645
22.5 廣義積分 645
習(xí)題 648
第23章 數(shù)值微分 651
23.1 高精度微分公式 651
23.2 理查森外推法 654
23.3 非等距數(shù)據(jù)的導(dǎo)數(shù) 656
23.4 帶誤差數(shù)據(jù)的導(dǎo)數(shù)與積分 657
23.5 偏導(dǎo)數(shù) 658
23.6 使用軟件包計(jì)算數(shù)值積分/微分 659
23.6.1 MATLAB 659
23.6.2 Mathcad 664
習(xí)題 665
第24章 數(shù)值積分和數(shù)值微分案例分析 670
24.1 利用積分確定總熱量(化學(xué)/生物工程) 670
24.2 競賽帆船桅桿上的有效作用力(土木/環(huán)境工程) 672
24.3 利用數(shù)值積分確定均方根電流(電氣工程) 675
24.4 利用數(shù)值積分計(jì)算功(機(jī)械/航空航天工程) 677
習(xí)題 681
第6部分 結(jié)束語 696
PT6.4 權(quán)衡 696
PT6.5 重要的關(guān)系式與公式 697
PT6.6 高級方法與其他參考文獻(xiàn) 698
第7部分 常微分方程 699
PT7.1 動機(jī) 700
PT7.1.1 求解常微分方程的非計(jì)算機(jī)方法 701
PT7.1.2 常微分方程和工程實(shí)踐 702
PT7.2 數(shù)學(xué)背景 703
PT7.3 導(dǎo)讀 705
PT7.3.1 范圍與預(yù)覽 706
PT7.3.2 目標(biāo) 707
第25章 龍格–庫塔法 709
25.1 歐拉方法 710
25.1.1 歐拉方法的誤差分析 712
25.1.2 歐拉方法的算法 717
25.1.3 高階泰勒級數(shù)方法 719
25.2 歐拉方法的改進(jìn) 720
25.2.1 修恩法 720
25.2.2 中點(diǎn)方法 725
25.2.3 修恩法和中點(diǎn)方法的計(jì)算機(jī)算法 727
25.2.4 總結(jié) 727
25.3 龍格-庫塔法 728
25.3.1 二階龍格–庫塔法 728
25.3.2 三階龍格–庫塔法 733
25.3.3 四階龍格–庫塔法 733
25.3.4 高階龍格–庫塔法 735
25.3.5 龍格–庫塔法的計(jì)算機(jī)算法 737
25.4 方程組 737
25.4.1 歐拉方法 738
25.4.2 龍格-庫塔法 739
25.4.3 求解常微分方程組的計(jì)算機(jī)算法 740
25.5 自適應(yīng)龍格-庫塔法 742
25.5.1 自適應(yīng)龍格-庫塔或步長-對分法 743
25.5.2 龍格-庫塔-費(fèi)爾貝格法 744
25.5.3 步長控制 746
25.5.4 計(jì)算機(jī)算法 747
習(xí)題 749
第26章 剛性和多步法 753
26.1 剛性 753
26.2 多步法 757
26.2.1 非自啟動修恩方法 758
26.2.2 步長控制和計(jì)算機(jī)程序 765
26.2.3 求積公式 766
26.2.4 高階多步法 772
習(xí)題 776
第27章 邊值和特征值問題 779
27.1 邊值問題的通用方法 780
27.1.1 打靶法 780
27.1.2 有限差分法 783
27.2 特征值問題 786
27.2.1 數(shù)學(xué)背景 786
27.2.2 物理背景 786
27.2.3 邊值問題 789
27.2.4 多項(xiàng)式方法 792
27.2.5 乘冪法 794
27.2.6 其他方法 797
27.3 使用軟件包求解常微分方程和特征值問題 798
27.3.1 Excel 798
27.3.2 MATLAB 798
27.3.3 Mathcad 802
習(xí)題 803
第28章 常微分方程案例分析 807
28.1 利用常微分方程分析反應(yīng)堆的瞬態(tài)反應(yīng)(化學(xué)/生物工程) 807
28.2 追捕模型和混沌(土木/環(huán)境工程) 813
28.3 模擬電路的瞬變電流(電氣工程) 816
28.4 擺動的鐘擺(機(jī)械/航空航天工程) 821
習(xí)題 824
第7部分 結(jié)束語 841
PT7.4 權(quán)衡 841
PT7.5 重要的關(guān)系式與公式 842
PT7.6 高級方法與其他參考文獻(xiàn) 844
第8部分 偏微分方程 845
PT8.1 動機(jī) 846
PT8.1.1 偏微分方程和工程實(shí)踐 847
PT8.1.2 求解偏微分方程的非計(jì)算機(jī)方法 849
PT8.2 導(dǎo)讀 849
PT8.2.1 范圍和與預(yù)覽 849
PT8.2.2 目標(biāo) 850
第29章 有限差分法：橢圓型方程 852
29.1 拉普拉斯方程 852
29.2 求解方法 854
29.2.1 拉普拉斯差分方程 855
29.2.2 李布曼方法 856
29.2.3 二級變量 858
29.3 邊界條件 860
29.3.1 導(dǎo)數(shù)邊界條件 860
29.3.2 不規(guī)則邊界 862
29.4 控制體積法 866
29.5 求解橢圓型方程的軟件 868
習(xí)題 869
第30章 有限差分法：拋物型方程 872
30.1 熱傳導(dǎo)方程 872
30.2 顯式法 873
30.2.1 收斂性和穩(wěn)定性 875
30.2.2 導(dǎo)數(shù)邊界條件 876
30.2.3 高階時(shí)間逼近 877
30.3 簡單的隱式法 877
30.4 克蘭克-尼科爾森法 880
30.5 二維空間上的拋物型方程 883
30.5.1 標(biāo)準(zhǔn)顯式和隱式格式 883
30.5.2 ADI方法 884
習(xí)題 886
第31章 有限元法 889
31.1 通用方法 890
31.1.1 剖分 890
31.1.2 元素方程 890
31.1.3 裝配 893
31.1.4 邊界條件 893
31.1.5 求解 893
31.1.6 后處理 893
31.2 有限元法在一維情況下的應(yīng)用 893
31.2.1 剖分 895
31.2.2 元素方程 895
31.2.3 裝配 900
31.2.4 邊界條件 902
31.2.5 求解 902
31.2.6 后處理 902
31.3 二維問題 903
31.3.1 剖分 903
31.3.2 元素方程 903
31.3.3 邊界條件和裝配 905
31.3.4 求解和后處理 905
31.4 使用軟件包求解偏微分方程 906
31.4.1 Excel 906
31.4.2 MATLAB 907
31.4.3 Mathcad 908
習(xí)題 909
第32章 偏微分方程案例分析 912
32.1 反應(yīng)堆的一維質(zhì)量守恒(化學(xué)/生物工程) 912
32.2 平板的撓曲(土木/環(huán)境工程) 916
32.3 二維靜電場問題(電氣工程) 918
32.4 用有限元法求解彈簧系統(tǒng)(機(jī)械/航空航天工程) 921
習(xí)題 924
第8部分 結(jié)束語 928
PT8.3 權(quán)衡問題 928
PT8.4 重要的關(guān)系式與公式 928
PT8.5 高級方法與其他參考文獻(xiàn) 929
附錄A 傅里葉級數(shù) 930
附錄B 學(xué)習(xí)使用MATLAB 932
附錄C 學(xué)習(xí)使用Mathcad 939