數學物理方程（第2版）

1 數學物理中的典型方程和定解問題
1.1 典型方程的推導
1.1.1 弦振動方程和定解條件
1.1.2 熱傳導方程和定解條件
1.1.3 位勢方程和定解條件
1.1.4 流體力學基本方程組
1.2 偏微分方程的基本概念
1.3 2 階線性偏微分方程的化簡與分類
1.3.1 兩個自變量2階線性偏微分方程的化簡
1.3.2 兩個自變量2階線性偏微分方程的分類
1.3.3 多個自變量2階線性偏微分方程的分類
1.4 定解問題的適定性
習題1
2 分離變量法
2.1 齊次邊界條件有界弦自由振動方程的混合問題的分離變量法
2.1.1 微分方程定解問題、分離變量法的基本思想
2.1.2 求微分方程的特解
2.1.3 定解問題的形式解
2.1.4 綜合過程、解的存在性
2.1.5 舉例
2.1.6 解的物理意義
2.2 齊次邊界條件有界弦強迫振動方程的混合問題的分離變量法
2.3 非齊次邊界條件的定解問題
2.4 解熱傳導方程的混合問題的分離變量法
2.4.1 齊次方程、齊次邊界條件
2.4.2 非齊次方程、齊次邊界條件
2.4.3 一般的第一初邊值問題
2.4.4 具第三類邊值條件的熱傳導方程混合問題分離變量法求解的例子
2.5 圓柱體定常溫度分布的Dirichlet問題
習題2
3 積分變換法
3.1 Fourier變換的理論基礎、基本性質
3.2 Fourier變換的應用
3.2.1 熱傳導方程初值問題的解法
3.2.2 半無界問題
3.2.3 三維熱傳導方程初值問題
3.2.4 弦振動方程的Fourier變換解法
3.3 Laplace變換的引入、基本性質
習題3
4 波動方程
4.1 齊次弦振動方程的初值問題、D’Alembert公式、廣義解
4.2 D’Alembert公式的物理意義、傳播波、依賴區(qū)域、影響區(qū)域、決定區(qū)域
4.2.1 D’Alembert公式的物理意義、傳播波
4.2.2 影響區(qū)域、依賴區(qū)域和決定區(qū)域
4.3 延拓法求解半無窮長弦振動方程初邊值問題
4.4 三維波動方程的球面平均法、Poisson公式
4.5 三維非齊次波動方程初值問題、推遲勢
4.6 二維波動方程初值問題的降維法
4.7 依賴區(qū)域、決定區(qū)域、影響區(qū)域、特征錐
4.8 Poisson公式的物理意義、Huygens原理
4.9 能量不等式、波動方程初值問題解的唯一性和連續(xù)依賴性
習題4
5 橢圓型方程
5.1 橢圓型方程邊值問題的提法
5.2 Green公式
5.3 調和函數的基本積分表達式和一些基本性質
5.4 Laplace方程第一邊值問題解的唯一性及穩(wěn)定性
5.5 Green函數、Dirichlet問題的解
5.5.1 Green函數的引出
5.5.2 Green函數的基本性質
5.5.3 特殊區(qū)域的Green函數、靜電源像法
5.5.3.1 球域的Greetl函數及Dirichlet問題的解
5.5.3.2 半空間的Green函數及Dirichlet問題的解
5.5.3.3 二維問題
5.6 調和函數的進一步性質——Poisson公式的應用
習題5
6 拋物型方程
6.1 熱傳導方程混合問題的適定性
6.2 熱傳導方程Cauchy問題的適定性
習題6
7 基本解與解的積分表達式
7.1 廣義函數及其性質
7.1.1 廣義函數與δ函數的引出
7.1.2 廣義函數與δ函數的一些基本性質
7.1.3 廣義函數的導數
7.2 基本解、解的積分表達式
7.2.1 Lu=0型方程的基本解
7.2.2 □=Lu型方程Cauchy問題的基本解、解的積分表達式
7.2.3 □=Lu型方程Cauchy問題的基本解、解的積分表達式
習題7
附錄 Fourier變換表和Laplace變換表
Fourier變換表
Laplace變換表