基本概念與運(yùn)算法則：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問題

問題篇
第一部分  數(shù)的認(rèn)識(shí)
　問題1  數(shù)量是什么？數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)是什么？
　數(shù)量是對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中事物量的抽象／數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)是多與少
　問題2  如何認(rèn)識(shí)自然數(shù)？
　數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，數(shù)的關(guān)系是對(duì)數(shù)量關(guān)系的抽象／對(duì)應(yīng)的方法／定義的方法
　問題3  表示自然數(shù)的關(guān)鍵是什么？
　表示自然數(shù)的關(guān)鍵是十個(gè)符號(hào)和數(shù)位／十進(jìn)位的數(shù)位法則是依次相差十倍／數(shù)位的名稱／自然數(shù)集合
　問題4  如何認(rèn)識(shí)自然數(shù)的性質(zhì)？
　依據(jù)性質(zhì)可以對(duì)自然數(shù)進(jìn)行分類／奇數(shù)與偶數(shù)／素?cái)?shù)與合數(shù)
　問題5  如何認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)？
　負(fù)數(shù)與對(duì)應(yīng)的自然數(shù)在數(shù)量上相等，表示的意義相反／絕對(duì)值符號(hào)
　問題6  如何認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)？
　分?jǐn)?shù)本身是數(shù)而不是運(yùn)算／整體與等分關(guān)系／整比例關(guān)系
　問題7  如何認(rèn)識(shí)小數(shù)？
　重新理解十進(jìn)制／線性組合／基底／用小數(shù)定義有理數(shù)和無理數(shù)
　問題8  什么是數(shù)感？
　數(shù)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系／抽象的核心是舍去現(xiàn)實(shí)背景，聯(lián)系的核心是回歸現(xiàn)實(shí)背景
第二部分  數(shù)的運(yùn)算
　問題9  如何解釋自然數(shù)的加法運(yùn)算？
　有兩種方法解釋自然數(shù)的加法／對(duì)應(yīng)的方法／定義的方法／如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想
　問題10  為什么說減法是加法的逆運(yùn)算？
　四則運(yùn)算源于加法／減法是加法的逆運(yùn)算／相反數(shù)／整數(shù)集合
　問題11  乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算嗎？
　自然數(shù)集合上的乘法／整數(shù)集合上的乘法不是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算
　問題12  整數(shù)集合上的乘法是如何得到的？
　整數(shù)集合上的乘法運(yùn)算是自然數(shù)集合上乘法運(yùn)算的推廣／為什么負(fù)負(fù)為正／運(yùn)算與算理等價(jià)
　問題13  為什么說除法是乘法的逆運(yùn)算？
　如何表示除法／得到的商是整數(shù)／得到的商不是整數(shù)／有理數(shù)集合／倒數(shù)
　問題14  為什么混合運(yùn)算要先乘除后加減？
　運(yùn)算次序有兩個(gè)基本法則／所有混合運(yùn)算都是在講述兩個(gè)或兩個(gè)以上的故事
　問題15  為什么要學(xué)習(xí)估算？
　精算有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力，估算有利于培養(yǎng)學(xué)生的直觀能力／估算問題要有合適的實(shí)際背景／合理的量綱／許多估算問題是為了得到上界或者下界
　問題16  什么是符號(hào)意識(shí)？
　概念符號(hào)／用字母表示數(shù)／基于符號(hào)的運(yùn)算／符號(hào)的表達(dá)具有一般性／關(guān)系符號(hào)／代數(shù)學(xué)的開始
　問題17  方程的本質(zhì)是什么？
　方程的本質(zhì)是描述現(xiàn)實(shí)世界中的等量關(guān)系／用字母表示未知的量／解方程的基本原則是利用等式的性質(zhì)
　問題18  小學(xué)數(shù)學(xué)中有哪些模型？
　模型的現(xiàn)實(shí)性／總量模型／路程模型／植樹模型／工程模型
　問題19  發(fā)現(xiàn)問題和提出問題有什么不同？
　從“雙基”到“四基”／發(fā)現(xiàn)問題／創(chuàng)新意識(shí)／提出問題／創(chuàng)新能力／語言表述／符號(hào)表達(dá)
第三部分  圖形與幾何
　問題20  為什么要把“空間與圖形”修改為“圖形與幾何”？
　時(shí)間和空間是人們認(rèn)識(shí)世界最為基本的概念／幾何學(xué)是研究如何構(gòu)建空間度量方法的學(xué)科／歐幾里得幾何／平直的概念／直線距離
　問題21  如何理解點(diǎn)、線、面、體、角？
　看到的物體都是立體的／點(diǎn)、線、面、體、角是從立體圖形中抽象出來的概念／如何用描述的方法給出幾何概念
　問題22  認(rèn)識(shí)圖形的教育價(jià)值是什么？
　更重要的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)對(duì)圖形分類／制訂分類標(biāo)準(zhǔn)／遵循標(biāo)準(zhǔn)／培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力
　問題23  如何理解長(zhǎng)度、面積、體積？
　長(zhǎng)度是對(duì)一維空間圖形的度量／面積是對(duì)二維空間圖形的度量／體積是對(duì)三維空間圖形的度量／度量的基礎(chǔ)是兩點(diǎn)間的直線距離
　問題24  如何理解平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱？圖形的運(yùn)動(dòng)／保持任意兩點(diǎn)間直線距離不變／剛體運(yùn)動(dòng)／參照物
　問題25  如何理解空間觀念和幾何直觀？
　空間觀念的本質(zhì)是空間想象力／直觀是對(duì)事物的直接判斷，是經(jīng)驗(yàn)層面的／
　直觀能力的養(yǎng)成依賴本人參與其中的思維活動(dòng)或者實(shí)踐活動(dòng)／幾何直觀的作用不局限于數(shù)學(xué)
第四部分統(tǒng)計(jì)與概率
　問題26  為什么要強(qiáng)調(diào)數(shù)據(jù)分析觀念？
　統(tǒng)計(jì)學(xué)研究的基礎(chǔ)是數(shù)據(jù)／描述統(tǒng)計(jì)／推斷統(tǒng)計(jì)／通過樣本推斷總體
　問題27  三種統(tǒng)計(jì)圖之間有什么共性和差異？
　直觀地表述數(shù)據(jù)／條形統(tǒng)計(jì)圖更有利于表述數(shù)量的多少／扇形統(tǒng)計(jì)圖更有利于表述數(shù)量所占的比例／折線統(tǒng)計(jì)圖更有利于表述數(shù)量的變化
　問題28  如何理解數(shù)據(jù)的隨機(jī)性？
　隨機(jī)性與不確定性是有所區(qū)別的／減少人為干擾／減少系統(tǒng)誤差／估計(jì)是統(tǒng)計(jì)推斷的重要手段／最大似然估計(jì)／通過樣本頻率估計(jì)概率
　問題29  平均數(shù)的意義是什么？
　平均數(shù)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中是一個(gè)非常重要的概念／誤差模型／隨機(jī)性誤差會(huì)因正負(fù)抵消而大大減少／樣本平均數(shù)是真值的無偏估計(jì)
　問題30  什么是概率？如何得到概率？
　概率是指隨機(jī)事件發(fā)生可能性的大小／概率是未知的／估計(jì)概率／定義概率／古典概率模型
　話題篇
話題1  幾種古代的數(shù)字符號(hào)
話題2  數(shù)量的本質(zhì)
話題3  數(shù)量多少的比較
話題4  十進(jìn)制的自然數(shù)
話題5  十二進(jìn)制與六十進(jìn)制
話題6  公理體系定義的自然數(shù)
話題7  借助算術(shù)公理體系解釋加法運(yùn)算
話題8  公理體系的必要性與數(shù)學(xué)證明的形式
話題9  加法運(yùn)算和減法運(yùn)算性質(zhì)的證明
話題10  用符號(hào)表示分類
話題11  素?cái)?shù)的故事
話題12  負(fù)數(shù)的意義
話題13  有理數(shù)與無理數(shù)
話題14  利用反證法證明根號(hào)2是無理數(shù)
話題15  用小數(shù)定義有理數(shù)和無理數(shù)
話題16  數(shù)學(xué)證明的思維過程
話題17  邏輯推理的思維起點(diǎn)
話題18  數(shù)學(xué)歸納法的論證邏輯
話題19  乘法的定義
話題20  除法運(yùn)算規(guī)定0不能為除數(shù)
話題21  除數(shù)是分?jǐn)?shù)時(shí)的除法運(yùn)算
話題22  數(shù)學(xué)中的符號(hào)表達(dá)
話題23  路程模型中的絕對(duì)時(shí)間與相對(duì)時(shí)間
話題24  幾何學(xué)的由來
話題25  歐幾里得《幾何原本》
話題26  幾何基本概念的進(jìn)一步抽象
話題27  長(zhǎng)度單位的確定
話題28  曹沖稱象與浮力
話題29  統(tǒng)計(jì)學(xué)的由來
話題30  概率的定義和估計(jì) 案例篇
案例1  關(guān)于問題2“如何認(rèn)識(shí)自然數(shù)”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例2  關(guān)于問題3“表示自然數(shù)的關(guān)鍵是什么”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例3  關(guān)于問題4“如何認(rèn)識(shí)自然數(shù)的性質(zhì)”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例4  關(guān)于問題5“如何認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例5  關(guān)于問題6“如何認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例6  關(guān)于問題7“如何認(rèn)識(shí)小數(shù)”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例7  關(guān)于問題8“什么是數(shù)感”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例8  關(guān)于問題9“如何解釋自然數(shù)的加法運(yùn)算”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例9  關(guān)于問題1 1“乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算嗎”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例10  關(guān)于問題13“為什么說除法是乘法的逆運(yùn)算”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例11  關(guān)于問題14“為什么混合運(yùn)算要先乘除后加減”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例12  關(guān)于問題15“為什么要學(xué)習(xí)估算”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例13  關(guān)于問題16“什么是符號(hào)意識(shí)”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例14  關(guān)于問題17“方程的本質(zhì)是什么”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例15  關(guān)于問題18“小學(xué)數(shù)學(xué)中有哪些模型”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例16  關(guān)于問題21“如何理解點(diǎn)、線、面、體、角”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例17  關(guān)于問題23“如何理解長(zhǎng)度、面積、體積”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例18  關(guān)于問題24“如何理解平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例19  關(guān)于問題27“三種統(tǒng)計(jì)圖之間有什么共性和差異”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例20  關(guān)于問題29“平均數(shù)的意義是什么”的教學(xué)設(shè)計(jì)