計算方法（第2版）

第1章 引論 1
　　1.1 從數學到計算 1
　　1.2 誤差理論初步 5
　　1.2.1 誤差的來源 5
　　1.2.2 誤差的度量 6
　　1.2.3 誤差的傳播 9
　　1.2.4 數值穩(wěn)定性 11
　　1.3 數值計算的若干原則 11
　　1.3.1 避免兩個相近數相減 12
1.3.2 避免用絕對值過小的數作為除數 12
　　1.3.3 要防止大數“吃掉”小數 13
　　1.3.4 簡化計算步驟，提高計算效率 14
　　1.3.5 使用數值穩(wěn)定的算法 14
　　本章小結 16
　　習題1 16
第2章 計算方法的數學基礎 18
　　2.1 微積分的有關概念和定理 18
　　2.1.1 數列與函數的極限 18
　　2.1.2 連續(xù)函數的性質 20
　　2.1.3 羅爾定理和微分中值定理 20
　　2.1.4 積分加權平均值定理 21
　　2.2 微分方程的有關概念和定理 22
　　2.2.1 基本概念 22
　　2.2.2 初值問題解的存在唯一性 23
　　2.3 線性代數的有關概念和定理 23
　　2.3.1 線性相關和線性無關 23
　　2.3.2 方陣及其初等變換 25
　　2.3.3 線性方程組解的存在唯一性 27
　　2.3.4 特殊矩陣 29
　　2.3.5 方陣的逆及其運算性質 30
　　2.3.6 矩陣的特征值及其運算性質 31
　　2.3.7 對稱正定矩陣 34
　　2.3.8 對角占優(yōu)矩陣 35
　　2.3.9 向量和連續(xù)函數的內積 36
　　2.3.10 向量、矩陣和連續(xù)函數的范數 37
　　2.3.11 向量序列與矩陣序列的極限 42
　　本章小結 43
　　習題2 43
第3章 方程求根 45
　　3.1 引言 45
　　3.2 二分法 46
　　3.3 迭代法 50
　　3.3.1 不動點迭代 50
　　3.3.2 迭代法的收斂性 51
　　3.3.3 迭代法的改善 57
　　3.4 牛頓迭代法 59
　　3.4.1 牛頓迭代公式及其幾何意義 59
　　3.4.2 牛頓迭代公式的收斂性 60
　　3.4.3 重根情形 63
　　3.5 弦截法 65
　　本章小結 66
　　習題3 66
第4章 解線性方程組的直接法 68
　　4.1 引言 68
　　4.2 高斯消去法 69
　　4.2.1 順序高斯消去法 69
　　4.2.2 主元素高斯消去法 73
　　4.2.3 高斯-約當消去法 75
　　4.3 矩陣三角分解法 77
　　4.3.1 高斯消去法與矩陣三角分解 77
　　4.3.2 直接三角分解法 78
　　4.4 解三對角方程組的追趕法 82
　　4.5 誤差分析 85
　　4.5.1 病態(tài)方程組與條件數 85
　　4.5.2 病態(tài)方程組的解法 89
　　本章小結 90
　　習題4 90
第5章 解線性方程組的迭代法 92
　　5.1 引言 92
　　5.2 雅可比迭代法 94
　　5.3 高斯-塞德爾迭代法 95
　　5.4 迭代法的收斂性 97
　　本章小結 104
　　習題5 104
第6章 函數插值 107
　　6.1 引言 107
　　6.1.1 插值問題 107
　　6.1.2 插值多項式的存在唯一性 108
　　6.2 拉格朗日插值 109
　　6.2.1 線性插值與拋物插值 109
　　6.2.2 拉格朗日插值 111
　　6.2.3 插值余項與誤差估計 113
　　6.3 牛頓插值 117
　　6.4 埃爾米特插值 121
　　6.5 分段低次插值 123
　　6.5.1 高次插值與龍格現象 123
　　6.5.2 分段線性插值 124
　　6.5.3 分段三次埃爾米特插值 126
　　6.6 樣條函數插值 128
　　6.6.1 三次樣條插值函數 128
　　6.6.2 三次樣條插值函數的求法 130
　　本章小結 133
　　習題6 133
第7章 函數逼近 137
　　7.1 引言 137
　　7.2 函數的內積與正交多項式 138
　　7.2.1 權函數和函數的內積 138
　　7.2.2 正交函數系 138
　　7.2.3 勒讓德多項式 140
　　7.2.4 切比雪夫多項式 141
　　7.3 最佳一致逼近 142
　　7.3.1 基本概念 142
　　7.3.2 線性最佳一致逼近多項式 143
　　7.3.3 近似最佳一致逼近多項式 145
　　7.4 最佳平方逼近 146
　　7.4.1 基本概念 146
　　7.4.2 最佳平方逼近函數 147
　　7.5 離散數據的曲線擬合 149
　　7.5.1 曲線擬合問題 149
　　7.5.2 多項式擬合 150
　　7.5.3 正交多項式擬合 152
　　本章小結 153
　　習題7 154
第8章 數值積分與數值微分 155
　　8.1 引言 155
　　8.1.1 數值求積的必要性 155
　　8.1.2 數值積分的基本思想 156
　　8.1.3 代數精度 156
　　8.1.4 插值型求積公式 158
　　8.2 牛頓-柯特斯求積公式 160
　　8.2.1 牛頓-柯特斯公式的導出 160
　　8.2.2 牛頓-柯特斯公式的誤差估計 162
　　8.3 復合求積公式 164
　　8.3.1 復合梯形求積公式 165
　　8.3.2 復合辛普生求積公式 166
　　8.4 外推算法與龍貝格算法 168
　　8.4.1 變步長的求積公式 168
　　8.4.2 外推算法 169
　　8.4.3 龍貝格求積公式 170
　　8.5 高斯求積公式 174
　　8.5.1 高斯點與高斯求積公式 174
　　8.5.2 高斯-勒讓德求積公式 175
　　8.5.3 高斯求積公式的穩(wěn)定性和收斂性 178
　　8.6 數值微分 179
　　8.6.1 中點公式 179
　　8.6.2 插值型微分公式 181
　　本章小結 183
　　習題8 183
第9章 常微分方程初值問題的數值解法 187
　　9.1 引言 187
　　9.2 歐拉公式 189
　　9.2.1 歐拉公式及其意義 189
　　9.2.2 歐拉公式的變形 190
　　9.3 單步法的局部截斷誤差和方法的階 193
　　9.4 龍格-庫塔方法 196
　　9.4.1 龍格-庫塔方法的基本思想 196
　　9.4.2 二階龍格-庫塔方法的推導 196
　　9.4.3 四階經典龍格-庫塔方法 199
　　9.5 單步法的收斂性和穩(wěn)定性 201
　　9.5.1 單步法的收斂性 202
　　9.5.2 單步法的穩(wěn)定性 204
　　本章小結 207
　　習題9 207
第10章 矩陣特征值計算 210
　　10.1 引言 210
　　10.2 冪法及反冪法 212
　　10.2.1 冪法 212
　　10.2.2 反冪法 215
　　10.3 QR方法 216
　　10.3.1 反射變換 217
　　10.3.2 矩陣的QR分解 218
　　10.3.3 QR方法 220
　　10.4 雅可比方法 221
　　10.4.1 平面旋轉矩陣 221
　　10.4.2 雅可比方法及其改進 223
　　本章小結 225
　　習題10 226
第11章 函數優(yōu)化計算 227
　　11.1 引言 227
　　11.2 一元函數優(yōu)化計算 228
　　11.2.1 牛頓法 228
　　11.2.2 擬牛頓法 230
　　11.2.3 黃金分割法 231
　　11.3 多元函數優(yōu)化計算 232
　　11.3.1 多元函數有最優(yōu)解的條件 232
　　11.3.2 多元函數數值求解的原則 233
　　11.3.3 梯度法 234
　　11.3.4 牛頓法 236
　　11.3.5 共軛方向法 238
　　11.3.6 擬牛頓法（變尺度法） 240
　　本章小結 242
　　習題11 243
第12章 MATLAB編程基礎及其在計算方法中的應用 244
　　12.1 MATLAB簡介 244
　　12.2　命令窗口和基本命令 245
　　12.3 變量、常量和數據類型 246
　　12.4 數值運算 247
　　12.4.1 向量運算 247
　　12.4.2 矩陣運算 248
　　12.5 符號運算 251
　　12.5.1 字符串運算 251
　　12.5.2 符號表達式運算 252
　　12.5.3 符號矩陣運算 255
　　12.5.4 符號微積分運算 256
　　12.5.5 方程求解 258
　　12.6 圖形可視化 260
　　12.6.1 二維圖形繪制 260
　　12.6.2 三維圖形繪制 261
　　12.7 程序設計 262
　　12.7.1 命令文件與函數文件 262
　　12.7.2 控制語句 263
　　12.7.3 調試方法 265
　　12.8 MATLAB在計算方法中的應用 266
　　12.8.1 方程求根 266
　　12.8.2 解線性方程組的直接法 270
　　12.8.3 解線性方程組的迭代法 275
　　12.8.4 函數插值 278
　　12.8.5 函數逼近 281
　　12.8.6 數值積分 283
　　12.8.7 常微分方程的數值解法 287
　　12.8.8 矩陣特征值問題計算 291
　　12.8.9 函數優(yōu)化計算 297
　　本章小結 299
　　習題12 300
附錄A 計算方法實驗 301
　　實驗1 方程求根 302
　　實驗2　解方程組的直接法 303
　　實驗3 解線性方程組的迭代法 304
　　實驗4 插值問題 305
　　實驗5 曲線擬合 306
　　實驗6 數值積分 307
　　實驗7 數值微分 308
　　實驗8 求解常微分方程的初值問題 309
　　實驗9 求解三對角線性方程組 310
　　實驗10 矩陣特征值問題計算 312
　　實驗11 函數優(yōu)化計算 313
參考文獻 315