考研數(shù)學(xué)三部曲之大話線性代數(shù)

超級(jí)導(dǎo)讀 線性代數(shù)大廈建造史（必看）
磨刀不誤砍柴工。只有把刀磨好了，砍柴時(shí)才會(huì)事半功倍。
1 考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)就是一座大樓
運(yùn)用比喻，生動(dòng)形象地為大家展示線性代數(shù)之美。
2 幫你蓋樓
我是一個(gè)小有名氣的建筑師，我將和大家一起蓋好這座六層的大樓。
3 第1章到第6章的內(nèi)容
大家來(lái)看看吧，這里有每一章展開(kāi)后的樣子。
4 滿分要這樣才行
內(nèi)因才是最重要的，大家要想考高分，就必須按本節(jié)所說(shuō)的這樣去做。
5 給大家的話
愿我的話能激勵(lì)大家在最疲倦、最懈怠的時(shí)候，因?yàn)樨?zé)任而堅(jiān)持，因?yàn)閾?dān)當(dāng)而無(wú)畏。
第1章 第一層--行列式
所謂行列式，無(wú)非是有行有列的東西。同學(xué)們，你們分得清什么是行什么是列嗎？如果分得清，就一定能學(xué)好行列式！
1.1 第一車磚--行列式長(zhǎng)什么樣
我們?cè)诹私庑率挛锏臅r(shí)候，最好先能對(duì)此事物有一個(gè)直觀的認(rèn)識(shí)。
1.2 第二車磚--行列式的本質(zhì)
看事物不能只看表面，還要看到事物的本質(zhì)。
1.3 第三車磚--行列式的基本計(jì)算方法
如果大家認(rèn)為行列式很難計(jì)算的話，那么在看完本節(jié)之后，一定會(huì)有不一樣的感受！
1.3.1 特殊行列式的計(jì)算
1.3.2 一般行列式的計(jì)算
1.4 第四車磚--行列式的五條性質(zhì)
干一件事情，不光要把它干出來(lái)，還要有效率。行列式的五條性質(zhì)將會(huì)使得行列式的計(jì)算變得容易。
1.4.1 性質(zhì)1
1.4.2 性質(zhì)2
1.4.3 性質(zhì)3
1.4.4 性質(zhì)4
1.4.5 性質(zhì)5
1.5 第五車磚--克拉默法則
克拉默法則是什么？它和行列式有什么關(guān)系？
1.6 第六車磚--矩陣
來(lái)看看矩陣與行列式的區(qū)別吧，它們可不是同一個(gè)東西！
1.7 第七車磚--矩陣的運(yùn)算
矩陣的運(yùn)算一共有三種，想知道是哪三種嗎？
1.7.1 矩陣與矩陣相加
1.7.2 數(shù)字與矩陣相乘
1.7.3 矩陣與矩陣相乘
1.8 第八車磚--矩陣的轉(zhuǎn)置
矩陣與行列式一樣，都可以進(jìn)行轉(zhuǎn)置，而且無(wú)論是行列式還是矩陣，轉(zhuǎn)置指的都是將第一行變?yōu)榈谝涣校瑢⒌诙凶優(yōu)榈诙小?br />1.9 第九車磚--方陣、對(duì)角矩陣、單位矩陣、逆矩陣
方陣是特殊的矩陣，對(duì)角矩陣是特殊的方陣，而單位矩陣又是特殊的對(duì)角矩陣……
1.9.1 方陣
1.9.2 對(duì)角矩陣
1.9.3 單位矩陣
1.9.4 逆矩陣
1.10 第十車磚--矩陣的向量表示法
矩陣可以用向量來(lái)表示，到底該怎么表示呢？
1.11 房間101--關(guān)于代數(shù)余子式的三句話
這三句話太重要了，考研中經(jīng)常會(huì)考到。這是大樓第一層的第一個(gè)房間，大家一定要用心去搭建這個(gè)房間哦。
1.11.1 第一句話
1.11.2 第二句話
1.11.3 第三句話
1.11.4 真題分析
1.12 房間102--克拉默法則的推論
克拉默法則前面已經(jīng)講過(guò)了，可又有誰(shuí)能想到，克拉默法則還有推論呢。
1.12.1 第一個(gè)充分必要條件
1.12.2 第二個(gè)充分必要條件
1.12.3 第三個(gè)充分必要條件
1.12.4 第四個(gè)充分必要條件
1.12.5 真題分析
1.13 房間103--關(guān)于行列式的兩種計(jì)算題
前面的“磚”中所講的行列式的基本計(jì)算方法還不夠應(yīng)對(duì)考研中所涉及到的行列式的計(jì)算題。要想輕松應(yīng)對(duì)考研中的行列式計(jì)算題的話，就要認(rèn)真閱讀本節(jié)。
1.13.1 抽象行列式的計(jì)算
1.13.2 具體行列式的計(jì)算
1.14 房間104--貫穿考研試題的思維定勢(shì)
第1章的最后一個(gè)房間，在這個(gè)房間中，我要告訴大家一個(gè)好消息--一個(gè)萬(wàn)能公式。
1.15 小結(jié)
1.16 練習(xí)題
1.17 結(jié)尾語(yǔ)
第2章 第二層--矩陣
矩陣就是矩形啊，就是長(zhǎng)方形。同學(xué)們，你們知道什么是長(zhǎng)方形嗎？如果你們知道的話，還有什么理由學(xué)不好矩陣呢？
2.1 第一車磚--矩陣的初等變換
任何一個(gè)矩陣，都可以進(jìn)行初等變換。那么，矩陣的初等變換究竟是什么呢？請(qǐng)閱讀本節(jié)的內(nèi)容。
2.2 第二車磚--初等矩陣
單位矩陣只經(jīng)過(guò)一次初等變換后形成的矩陣稱為初等矩陣。
2.3 第三車磚--矩陣的秩
矩陣的秩是線性代數(shù)學(xué)科中的一個(gè)至關(guān)重要的知識(shí)點(diǎn)，一個(gè)承上啟下的“橋梁”。
2.3.1 矩陣的子式的定義
2.3.2 矩陣的秩的定義
2.3.3 利用初等行變換來(lái)求矩陣的秩
2.4 房間201--第一個(gè)大總結(jié)
這個(gè)大總結(jié)可以說(shuō)是重要極了，它貫穿于整個(gè)線性代數(shù)學(xué)科。請(qǐng)大家一定要把這個(gè)大總結(jié)熟練地背下來(lái)。
2.5 房間202--第二個(gè)大總結(jié)
本節(jié)內(nèi)容完全可以由矩陣的運(yùn)算推出來(lái)，但是本節(jié)的內(nèi)容并不多余。如果大家能夠熟練地將本節(jié)內(nèi)容背下來(lái)，做題速度將會(huì)大大加快。
2.6 房間203--矩陣乘法的兩條算定律
矩陣乘法滿足結(jié)合律，矩陣乘法對(duì)矩陣加減法滿足分配律。
2.6.1 矩陣乘法滿足結(jié)合律
2.6.2 矩陣乘法對(duì)矩陣加減法滿足分配律
2.7 房間204--可交換的矩陣相乘特例
注意，矩陣乘法不滿足交換律。但是，在本節(jié)的五個(gè)式子中，矩陣相乘是可以交換的。
2.8 房間205--關(guān)于矩陣轉(zhuǎn)置的四個(gè)公式
之前給大家講過(guò)矩陣的轉(zhuǎn)置，本節(jié)將要給大家介紹關(guān)于矩陣的轉(zhuǎn)置的四個(gè)公式。
2.9 房間206--關(guān)于矩陣可逆的六個(gè)公式
大家對(duì)于可逆矩陣并不陌生吧？既然如此，那么本節(jié)所講的關(guān)于矩陣可逆的六個(gè)公式對(duì)大家來(lái)說(shuō)應(yīng)該也是沒(méi)有難度的。
2.10 房間207--可逆矩陣、初等變換、初等矩陣、矩陣的秩之間的
關(guān)系以及等價(jià)矩陣
可逆矩陣、初等變換、初等矩陣以及矩陣的秩都已經(jīng)給大家講過(guò)了，房間207則是把這幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通，使得同學(xué)們對(duì)于這部分知識(shí)的掌握達(dá)到考研的要求。
2.10.1 可逆矩陣與初等矩陣的關(guān)系
2.10.2 初等矩陣與初等變換的關(guān)系
2.10.3 初等變換與矩陣的秩的關(guān)系
2.10.4 初等矩陣的逆矩陣
2.10.5 等價(jià)矩陣
2.11 房間208--分塊矩陣以及一些知識(shí)點(diǎn)的深化
本節(jié)對(duì)一些?？碱}型的解題方法做了歸納總結(jié)，使得同學(xué)們可以更加輕松快捷的解題！
2.11.1 分塊矩陣
2.11.2 反對(duì)稱矩陣
2.11.3 求一個(gè)矩陣的逆矩陣
2.11.4 特殊分塊矩陣的逆矩陣
2.11.5 求一個(gè)矩陣的若干次冪
2.12 小結(jié)
2.13 練習(xí)題
2.14 結(jié)尾語(yǔ)
第3章 第三層--向量
同學(xué)們，你們矩陣都能學(xué)得那么好，而從矩陣中抽出一行或一列就是向量。也就是說(shuō)，向量也是矩陣，只不過(guò)是特殊的矩陣罷了，更簡(jiǎn)單了。你們有理由學(xué)不好嗎？
3.1 第一車磚--向量與向量組的基本概念
我們可以把向量組看成是一個(gè)大箱子，里面裝著可愛(ài)的“向量們”。
3.2 第二車磚--線性表出的概念
“線性表出”也叫“線性表示”，是反映一個(gè)向量與一個(gè)向量組之間關(guān)系的專有名詞。
3.3 第三車磚--線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的概念
本節(jié)內(nèi)容如果大家能掌握好，本章的后續(xù)章節(jié)就都不用怕啦！
3.4 第四車磚--最大無(wú)關(guān)組
“最大無(wú)關(guān)組”也稱“極大無(wú)關(guān)組”、“最大線性無(wú)關(guān)組”、“極大線性無(wú)關(guān)組”。
3.5 第五車磚--“向量組的秩”的概念
啊！又出現(xiàn)了一個(gè)帶“秩”的詞！大家快來(lái)看看它是啥玩意兒吧！
3.6 第六車磚--“向量組的秩”與“矩陣的秩”的關(guān)系
“向量組的秩”與“矩陣的秩”都帶“秩”字，它們到底有沒(méi)有關(guān)系？
3.7 第七車磚--線性表出的推廣
百尺竿頭，更進(jìn)一步。讓我們將“線性表出”推廣開(kāi)來(lái)吧！
3.8 第八車磚--等價(jià)向量組
什么？難道不光是兩個(gè)矩陣能等價(jià)，向量組也能？
3.9 房間301--關(guān)于線性相/無(wú)關(guān)要記的幾個(gè)結(jié)論
理科有時(shí)也像文科，該記的就記，該背的就背！
3.10 房間302--方程組的求解
本節(jié)我要給大家講的解方程組的方法與“克拉默法則”有什么區(qū)別呢？
3.10.1 求齊次方程組的通解
3.10.2 求非齊次方程組的通解
3.11 房間303--五個(gè)重要的定理
背下來(lái)！
3.11.1 定理1
3.11.2 定理2
3.11.3 定理3
3.11.4 定理4
3.11.5 定理5
3.11.6 真題分析
3.12 房間304--線性表出的本質(zhì)
看到本質(zhì)就一通百通啦！
3.13 房間305--初等行變換前后相應(yīng)的列向量組具有相同的
線性相關(guān)性
本節(jié)是很有意思的一節(jié)，標(biāo)題就是知識(shí)點(diǎn)，要搞明白哦。
3.14 房間306--與秩有關(guān)的八個(gè)公式
八大公式要背下來(lái)，務(wù)必！考研題中常在此處做文章。
3.15 房間307--向量空間
向量空間的不傳之秘。
3.15.1 向量空間，基，維數(shù)，坐標(biāo)
3.15.2 基變換公式
3.15.3 正交向量，正交矩陣，正交化
3.16 房間308--線性相/無(wú)關(guān)的證明題
本節(jié)要總結(jié)一下線性相/無(wú)關(guān)的證明題的解題方法。只要大家認(rèn)真閱讀，考研題中關(guān)于線性相/無(wú)關(guān)的證明題基本可以像劉翔一樣迅速跨過(guò)。
3.16.1 方法1
3.16.2 方法2
3.17 小結(jié)
3.18 練習(xí)題
3.19 結(jié)尾語(yǔ)
第4章 第四層--解線性方程組
小學(xué)就學(xué)過(guò)解方程組，現(xiàn)在只不過(guò)是未知數(shù)個(gè)數(shù)多了一點(diǎn)兒。什么？你不會(huì)？你一定是在開(kāi)玩笑。
4.1 房間401--求兩個(gè)方程組的公共解
在第3章中，我們已經(jīng)了解了如何求解齊次方程組和非齊次方程組。這一節(jié)我要告訴 大家的是如何求兩個(gè)方程組的公共解。很簡(jiǎn)單，聯(lián)立即可……
4.2 房間402--同解方程組的證明
“同解方程組”與上一節(jié)所討論的問(wèn)題“兩個(gè)方程組的公共解”有共同點(diǎn)也有不同點(diǎn)。
4.2.1 方法1
4.2.2 方法2
4.3 房間403--已知齊次方程組的基礎(chǔ)解系，反求齊次方程組
已知齊次方程組求基礎(chǔ)解系這大家肯定是會(huì)了，如果反過(guò)來(lái)呢？已知齊次方程組的基礎(chǔ)解系，該如何反求齊次方程組呢？
4.4 房間404--線性方程組解的性質(zhì)
你了解線性方程組解的性質(zhì)嗎？如果還是一頭霧霾，看完霾就散了。
4.5 房間405--通過(guò)討論方程組中參數(shù)的取值，判斷解的類型
方程組大家都會(huì)求解了吧？現(xiàn)在只不過(guò)是帶參數(shù)的方程組而已，換湯不換藥。
4.6 房間406--已知方程組解的類型，求方程組中的參數(shù)
如果上一個(gè)房間的解題方法掌握好的話，那本房間的落成簡(jiǎn)直不費(fèi)吹灰之力。
4.7 小結(jié)
4.8 練習(xí)題
4.9 結(jié)尾語(yǔ)
第5章 第五層--特征值、特征向量、相似矩陣
當(dāng)大家看到車的標(biāo)志，就可以分辨“奧迪”、“寶馬”和“奔馳”。車標(biāo)就相當(dāng)于“特征值、特征向量”。相似三角形了解不？相似矩陣比相似三角形更簡(jiǎn)單。
5.1 第一車磚--特征值、特征向量的基本概念
特征值和特征向量一定要搞透，才能進(jìn)行之后的計(jì)算。
5.2 第二車磚--特征值、特征向量的計(jì)算方法
一個(gè)方陣的特征值和特征向量可以通過(guò)某種計(jì)算方法計(jì)算出來(lái)嗎？廢話！
5.3 第三車磚--對(duì)稱矩陣、正交矩陣的復(fù)習(xí)
本節(jié)純屬?gòu)?fù)習(xí)，但相當(dāng)有必要，結(jié)合其他知識(shí)，可以“溫故而知新”。
5.4 第四車磚--矩陣有多少個(gè)特征值為零
第二車磚中，我們搞清楚了求特征值的方法。本節(jié)要討論一個(gè)矩陣有多少個(gè)特征值為0。
5.5 第五車磚--相似矩陣
相似矩陣，顧名思義，真的很相似……
5.6 第六車磚--對(duì)角化
如果矩陣A可以相似于對(duì)角矩陣，則稱矩陣A可以對(duì)角化。信老潘，就這么簡(jiǎn)單！
5.7 第七車磚--合同矩陣
合同矩陣與相似矩陣的定義式類似，所以請(qǐng)大家務(wù)必要區(qū)分清楚，記混是要犯錯(cuò)誤的！
5.8 房間501--如何證明兩個(gè)矩陣有相同的特征值
四種方法，一節(jié)搞定。
5.9 房間502--幾個(gè)需要記住的結(jié)論
四條結(jié)論，務(wù)必背下。
5.9.1 結(jié)論1
5.9.2 結(jié)論2
5.9.3 結(jié)論3
5.9.4 結(jié)論4
5.10 房間503--與特征向量有關(guān)的證明題通常會(huì)用到反證法
有時(shí)，從結(jié)論出發(fā)，一順到頭才叫爽！
5.11 房間504--通過(guò)A的特征值、特征向量來(lái)推關(guān)于A的多項(xiàng)式的
特征值、特征向量
推理是很有意思的，破案。
5.12 房間505--什么樣的方陣可以對(duì)角化
在本章的第六車磚中，我給大家介紹了對(duì)角化的概念。但是，并不是說(shuō)任意的一個(gè)方陣A，就一定可以對(duì)角化！
5.13 房間506--若方陣可以對(duì)角化，那么 以及P怎么求
本節(jié)內(nèi)容基于上一節(jié)內(nèi)容，上一節(jié)弄明白了，本節(jié)就跟看小說(shuō)一樣。
5.14 房間507--關(guān)于相似矩陣的五個(gè)小結(jié)論
五個(gè)小結(jié)論，無(wú)窮大用途！
5.15 房間508--實(shí)對(duì)稱矩陣的兩個(gè)來(lái)自于不同特征值的特征向量
必正交
任何一個(gè)矩陣的兩個(gè)來(lái)自于不同特征值的特征向量必線性無(wú)關(guān)，而對(duì)于對(duì)稱矩陣來(lái)說(shuō)，它的兩個(gè)來(lái)自于不同特征值的特征向量不但線性無(wú)關(guān)，而且正交。
5.16 房間509--實(shí)對(duì)稱矩陣一定可以相似于對(duì)角矩陣
在房間505中，我告訴了大家判斷某矩陣是否可以對(duì)角化的兩個(gè)步驟，而對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣來(lái)說(shuō)，一定可以對(duì)角化，根本就不需要用那兩個(gè)步驟去判斷。
5.17 房間510--實(shí)對(duì)稱矩陣一定可以合同于對(duì)角矩陣
標(biāo)題即結(jié)論，很重要。
5.18 小結(jié)
5.19 練習(xí)題
5.20 結(jié)尾語(yǔ)
第6章 第六層--二次型
二次型就是多項(xiàng)式，而且是二次多項(xiàng)式。高中時(shí)大家連三次和四次多項(xiàng)式都見(jiàn)過(guò)，那么二次多項(xiàng)式又怎么會(huì)有難度呢？
6.1 第一車磚--二次型的定義
二次型只不過(guò)是每項(xiàng)均由“常數(shù) 變量 變量”所組成的多項(xiàng)式（大家上初中時(shí)就學(xué)過(guò)多項(xiàng)式）而已，就這么簡(jiǎn)單。
6.2 第二車磚--二次型的對(duì)應(yīng)矩陣
每個(gè)人都有一個(gè)夢(mèng)想，每個(gè)二次型都有對(duì)應(yīng)矩陣，而且可以互推，有點(diǎn)像函數(shù)表達(dá)式與函數(shù)圖像的關(guān)系！
6.3 第三車磚--利用矩陣乘法來(lái)表示二次型
任何一個(gè)二次型 都可以表示成 （其中 ，A為二次型的對(duì)應(yīng)矩陣）。
6.4 第四車磚--標(biāo)準(zhǔn)形
標(biāo)準(zhǔn)形是特殊的二次型，那么，它到底如何“標(biāo)準(zhǔn)”呢？
6.5 第五車磚--規(guī)范形
規(guī)范形是特殊的標(biāo)準(zhǔn)形。也就是說(shuō)，它比“標(biāo)準(zhǔn)形”更“標(biāo)準(zhǔn)” ！
6.6 第六車磚--化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形
基本技能，不多少，看正文吧。
6.7 第七車磚--合同二次型
若兩個(gè)二次型的對(duì)應(yīng)矩陣是合同矩陣，那么稱這兩個(gè)二次型為合同二次型。
6.8 第八車磚--正定二次型、正定矩陣
正定二次型是特殊的二次型。特殊性體現(xiàn)在：當(dāng) 不全為零時(shí)，二次型 恒大于零。
6.9 房間601--用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形
本節(jié)要與下一節(jié)結(jié)合來(lái)回看，了解兩種方法的特點(diǎn)。
6.10 房間602--用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形
本節(jié)要與上一節(jié)結(jié)合來(lái)回看，了解兩種方法的特點(diǎn)。
6.11 房間603--兩個(gè)對(duì)稱矩陣合同的充分必要條件
在第5章的第七車磚中介紹了兩個(gè)矩陣合同的定義?？墒菍?shí)際上，我們很難通過(guò)定義來(lái)判斷兩個(gè)矩陣是否合同。于是我們迫切需要一個(gè)充分必要條件！
6.12 房間604--正定二次型、正定矩陣的證明方法
大家不要害怕證明題，其實(shí)很多時(shí)候，證明題甚至比計(jì)算題更簡(jiǎn)單！
6.12.1 正定矩陣的證明方法
6.12.2 正定二次型的證明方法
6.13 小結(jié)
6.14 練習(xí)題
6.15 結(jié)尾語(yǔ)