第一部分 線性代數(shù)
第1章 行列式 2
1.1 行列式的標志 2
1.2 行列式的本質 2
1.3 行列式的基本計算方法 3
1.3.1 特殊行列式的計算 3
1.3.2 一般行列式的計算 5
1.4 行列式的五條性質 7
1.5 克拉默法則 10
1.6 矩陣 12
1.7 矩陣的運算 13
1.7.1 矩陣與矩陣相加 13
1.7.2 數(shù)字與矩陣相乘 13
1.7.3 矩陣與矩陣相乘 13
1.8 矩陣的轉置 15
1.9 方陣、對角矩陣、單位矩陣、逆矩陣 16
1.9.1 方陣 16
1.9.2 對角矩陣 16
1.9.3 單位矩陣 16
1.9.4 逆矩陣 16
1.10 矩陣的向量表示法 17
1.11 關于代數(shù)余子式的三句話 18
1.11.1 第一句話 18
1.11.2 第二句話 18
1.11.3 第三句話 19
1.12 克拉默法則的推論 20
1.12.1 第一個充分必要條件 21
1.12.2 第二個充分必要條件 22
1.12.3 第三個充分必要條件 22
1.12.4 第四個充分必要條件 22
1.13 關于行列式的兩種計算題 25
1.13.1 抽象行列式的計算 25
1.13.2 具體行列式的計算 26
1.14 貫穿考研試題的思維定式 37
第2章 矩陣 39
2.1 矩陣的初等變換 39
2.2 初等矩陣 39
2.3 矩陣的秩 40
2.3.1 矩陣子式的定義 40
2.3.2 矩陣秩的定義 42
2.3.3 利用初等行變換來求矩陣的秩 42
2.4 第一個大總結 46
2.5 第二個大總結 47
2.6 矩陣乘法的兩條定律 49
2.6.1 矩陣乘法滿足結合律 49
2.6.2 矩陣乘法對矩陣加減法滿足分配律 49
2.7 可交換的矩陣相乘特例 49
2.8 關于矩陣轉置的四個公式 49
2.9 關于矩陣可逆的六個公式 50
2.10 可逆矩陣、初等變換、初等矩陣、
矩陣秩之間的關系及等價矩陣 53
2.10.1 可逆矩陣與初等矩陣的關系 53
2.10.2 初等矩陣與初等變換的關系 53
2.10.3 初等變換與矩陣的秩的關系 54
2.10.4 初等矩陣的逆矩陣 55
2.10.5 等價矩陣 56
2.11 分塊矩陣及一些知識點的深化 57
2.11.1 分塊矩陣 57
2.11.2 反對稱矩陣 57
2.11.3 求一個矩陣的逆矩陣 58
2.11.4 特殊分塊矩陣的逆矩陣 61
2.11.5 求一個矩陣的若干次冪 63
第3章 向量 67
3.1 向量與向量組的基本概念 67
3.2 線性表出的概念 67
3.3 線性相關與線性無關的概念 68
3.4 最大無關組 69
3.5 “向量組的秩”的概念 69
3.6 “向量組的秩”與“矩陣的秩”的關系 69
3.7 線性表出的推廣 70
3.8 等價向量組 71
3.9 關于線性相/無關要記的幾個結論 71
3.10 方程組的求解 72
3.10.1 求齊次方程組的通解 73
3.10.2 求非齊次方程組的通解 77
3.11 五個重要的定理 80
3.11.1 定理1 80
3.11.2 定理2 81
3.11.3 定理3 81
3.11.4 定理4 84
3.11.5 定理5 85
3.11.6 真題分析 85
3.12 線性表出的本質 87
3.13 初等行變換前后相應的列向量組的
線性相關性 87
3.14 與秩有關的八個公式 89
3.15 向量空間 91
3.15.1 向量空間，基，維數(shù)，坐標 91
3.15.2 基變換公式 92
3.15.3 正交向量，正交矩陣，正交化 94
3.16 線性相/無關的證明題 99
3.16.1 方法1 99
3.16.2 方法2 99
第4章 解線性方程組 102
4.1 求兩個方程組的公共解 102
4.2 同解方程組的證明 104
4.2.1 方法1 104
4.2.2 方法2 105
4.3 已知齊次方程組的基礎解系，
反求齊次方程組 107
4.4 線性方程組解的性質 107
4.5 由方程組中參數(shù)的取值判斷解的類型 110
4.6 已知方程組解的類型，求方程組中的參數(shù) 113
第5章 特征值、特征向量、相似矩陣 115
5.1 特征值、特征向量的基本概念 115
5.2 特征值、特征向量的計算方法 115
5.3 對稱矩陣、正交矩陣的復習 118
5.4 矩陣有多少個特征值為零 119
5.5 相似矩陣 120
5.6 對角化 120
5.7 合同矩陣 120
5.8 證明兩個矩陣有相同的特征值 121
5.9 幾個需要記住的結論 122
5.9.1 結論1 122
5.9.2 結論2 122
5.9.3 結論3 122
5.9.4 結論4 123
5.10 與特征向量有關的證明題通常
會用到反證法 123
5.11 由A的特征值、特征向量推A的
多項式的特征值、特征向量 124
5.12 怎樣的方陣可以對角化 125
5.13 若方陣可以對角化，Λ和P怎么求 128
5.14 關于相似矩陣的五個小結論 132
5.15 實對稱陣的兩個來自不同特征值的
特征向量必正交 132
5.16 實對稱陣一定可以相似于對角矩陣 133
5.17 實對稱陣一定可以合同于對角矩陣 138
第6章 二次型 141
6.1 二次型的定義 141
6.2 二次型的對應矩陣 141
6.3 利用矩陣乘法來表示二次型 142
6.4 標準形 143
6.5 規(guī)范形 143
6.6 化二次型為標準形 143
6.7 合同二次型 144
6.8 正定二次型、正定矩陣 144
6.9 用正交變換法化二次型為標準形 144
6.10 用配方法化二次型為標準形 148
6.11 兩個對稱矩陣合同的充分必要條件 150
6.12 正定二次型、正定矩陣的證明方法 151
6.12.1 正定矩陣的證明方法 151
6.12.2 正定二次型的證明方法 154
第二部分 高等數(shù)學
第1章 極限與連續(xù) 156
1.1 極限長什么樣 156
1.2 極限的計算方法 156
1.2.1 函數(shù)的極限的計算方法 156
1.2.2 數(shù)列的極限的計算方法 206
1.3 三個小技巧 225
1.3.1 第一個小技巧 225
1.3.2 第二個小技巧 226
1.3.3 第三個小技巧 229
1.4 極限的定義 230
1.4.1 數(shù)列的極限的定義 231
1.4.2 趨于無窮大時函數(shù)的極限的定義 233
1.4.3 趨于定點時函數(shù)的極限的定義 234
1.5 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點 236
1.5.1 函數(shù)的連續(xù)性 236
1.5.2 函數(shù)的間斷點 243
1.6 無窮小、同階無窮小、等階無窮小、
高階無窮小、低階無窮小、k階無窮小 247
1.6.1 無窮小 247
1.6.2 同階無窮小 247
1.6.3 等價無窮小 248
1.6.4 高階無窮小 248
1.6.5 低階無窮小 250
1.6.6 k階無窮小 250
1.7 兩個常用的結論 250
1.8 函數(shù)的極限存在性 252
1.8.1 函數(shù)和差的極限存在性 252
1.8.2 函數(shù)乘積的極限存在性 253
1.9 已知一極限求另外一極限 254
1.10 求以數(shù)列極限的形式給出來的
函數(shù)f(x)的表達式 260
1.11 函數(shù)極限的保號性 267
1.11.1 趨于無窮型的函數(shù)極限的保號性 267
1.11.2 趨于無窮型的函數(shù)極限的保號性
的推論 268
1.11.3 趨于定點型的函數(shù)極限的保號性 269
1.11.4 趨于定點型的函數(shù)極限的保號性
的推論 269
1.12 函數(shù)極限與數(shù)列極限的相互轉化 271
1.12.1 函數(shù)極限轉化為數(shù)列極限 271
1.12.2 數(shù)列極限轉化為函數(shù)極限 274
第2章 導數(shù)與微分 277
2.1 可導的定義 277
2.1.1 函數(shù)在某一點處可導的定義 277
2.1.2 函數(shù)在某一點處左/右可導的定義 282
2.1.3 函數(shù)在某區(qū)間可導的定義 293
2.2 常用的導數(shù)公式 295
2.2.1 基本初等函數(shù)的導數(shù)公式 296
2.2.2 導數(shù)的四則運算法則 297
2.2.3 復合函數(shù)的導數(shù)公式 297
2.2.4 冪指函數(shù)求導 298
2.3 可微的定義 299
2.4 可微、可導、連續(xù)三者的關系 300
2.5 很重要的四個知識點 303
2.5.1 第一個知識點 303
2.5.2 第二個知識點 303
2.5.3 第三個知識點 311
2.5.4 第四個知識點 314
2.6 高階導推低階導 315
2.7 求某函數(shù)的高階導數(shù)的方法 315
2.8 求曲線的漸近線 318
2.9 分段函數(shù)求導 323
第3章 微分中值定理及其應用 329
3.1 求函數(shù)在給定區(qū)間的單調性 329
3.2 求函數(shù)的單調區(qū)間 329
3.3 求函數(shù)的極值點與極值 331
3.4 求函數(shù)在給定區(qū)間的凹凸性 333
3.5 求函數(shù)的凹凸區(qū)間 334
3.6 求函數(shù)的拐點 336
3.7 與極值點和拐點有關的一個重要結論 340
3.8 求函數(shù)在給定區(qū)間的最值 341
3.9 求兩個函數(shù)的交點個數(shù)或求一個方程的
實根個數(shù) 345
3.10 證明恒等式 348
3.11 證明不等式 353
3.12 證明零點問題 360
第4章 一元函數(shù)積分學 371
4.1 原函數(shù)與不定積分 371
4.1.1 原函數(shù) 371
4.1.2 不定積分 371
4.2 不定積分長什么樣 372
4.3 定積分和反常積分長什么樣 372
4.4 不定積分和定積分的計算方法 374
4.4.1 不定積分的計算方法 374
4.4.2 定積分的計算方法 409
4.5 反常積分的計算方法 414
4.6 定積分的應用 422
4.6.1 利用定積分求面積 422
4.6.2 利用定積分求旋轉體的體積 426
4.7 求被積函數(shù)中含絕對值的定積分與
反常積分 434
4.8 兩個重要知識點 435
4.8.1 原函數(shù)的存在性 435
4.8.2 對稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的定積分與
反常積分 440
第5章 微分方程 445
5.1 微分方程什么樣 445
5.2 微分方程的階 446
5.3 微分方程的解 447
5.4 微分方程的通解 448
5.5 微分方程的初始條件與微分方程的特解 448
5.6 求一階微分方程的通解的方法 448
5.6.1 可分離變量法 448
5.6.2 換元法 451
5.6.3 公式法 454
5.6.4 伯努利法 457
5.6.5 變量代換法 459
5.7 求二階常系數(shù)線性微分方程的通解的方法 459
5.7.1 求二階常系數(shù)齊次線性微分
方程的通解的方法 460
5.7.2 求二階常系數(shù)非齊次線性微分
方程的通解的方法 461
5.8 求二階變系數(shù)微分方程的通解的方法 464
5.8.1 求不含y的二階變系數(shù)微分
方程的通解的方法 464
5.8.2 求不含x的二階變系數(shù)微分
方程的通解的方法 464
5.9 線性微分方程解的性質與結構 465
第6章 多元函數(shù)微分學 468
6.1 什么叫多元函數(shù) 468
6.2 二元函數(shù)的極限計算方法 468
6.3 二元函數(shù)的連續(xù)性 475
6.4 可偏導的定義 477
6.4.1 函數(shù)在某一點處可偏導的定義 477
6.4.2 函數(shù)在某區(qū)間可偏導的定義 482
6.5 利用公式求 483
6.5.1 當“ ”是單一的字母時
的求法 483
6.5.2 當“ ”不是單一的字母時
的求法 498
6.6 分段函數(shù)求偏導 503
6.7 抽象函數(shù)求偏導 511
6.8 二元函數(shù)的極值、最值、條件極值 519
6.8.1 二元函數(shù)的極值 519
6.8.2 二元函數(shù)的最值 522
6.8.3 條件極值 523
6.9 求空間曲線的切線與法平面以及
求曲面的法線與切平面 526
6.9.1 求空間曲線的切線與法平面 526
6.9.2 求曲面的法線與切平面 529
第7章 二重積分 533
7.1 二重積分的形式 533
7.2 當被積函數(shù)為1時二重積分的意義 534
7.3 二重積分的計算方法 536
7.4 二重積分的三條性質 561
7.5 二重積分是一個數(shù) 565
7.6 求解被積函數(shù)中含絕對值的二重積分 566
7.7 二重積分的對稱性 577
7.8 二重積分的輪換對稱性 582
7.9 “先x后y型”二重積分與“先y后x型”
二重積分的相互轉化 584
7.10 計算二重積分時的一個小技巧 586
7.11 均勻薄片的形心 587
鄂公網安備 42010302001612號 