高等數學深化訓練與大學生數學競賽教程

目 錄

第1章 函數1
1.1 知識要點1
1.1.1 函數1
1.1.2 常用不等式1
1.1.3 反函數2
1.1.4 復合函數2
1.1.5 關于函數表達式的求解2
1.1.6 一些常用的三角公式2
1.1.7 一些常用的代數公式3
1.2 典型例題分析4
1.2.1 題型一、函數表達式的求解與證明4
1.2.2 題型二、復合函數問題6
1.2.3 題型三、函數的四種幾何特性7
1.3 深化訓練9
1.4 深化訓練詳解10
第2章 極限與連續(xù)12
2.1 知識要點12
2.1.1 極限的概念與性質12
2.1.2 無窮小量與無窮大量13
2.1.3 四個極限存在準則與兩個重要極限14
2.1.4 幾個重要的結論15
2.1.5 施篤茲（O.Stolz）定理15
2.1.6 柯西（Cauchy）定理15
2.1.7 關于函數的連續(xù)性16
2.1.8 求極限的常用方法16
2.2 典型例題分析16
2.2.1 題型一、利用極限的分析定義求極限16
2.2.2 題型二、利用初等變換方法求極限18
2.2.3 題型三、利用四個極限存在準則求極限19
2.2.4 題型四、利用施篤茲定理求極限22
2.2.5 題型五、利用兩個重要極限求極限23
2.2.6 題型六、利用等價無窮小量替換求極限24
2.2.7 題型七、利用中值定理求極限25
2.2.8 題型八、利用定積分的定義求極限28
2.2.9 題型九、函數的連續(xù)性問題29
2.2.10 題型十、連續(xù)函數的等式證明問題32
2.3 深化訓練33
2.4 深化訓練詳解36
第3章 導數與微分44
3.1 知識要點44
3.1.1 導數的概念44
3.1.2 導數的幾何意義44
3.1.3 高階導數45
3.1.4 復合函數的求導法則45
3.1.5 反函數求導法則45
*3.1.6 參數方程所確定的函數的導數46
3.1.7 幾個重要的結論46
3.1.8 達布（Darboux）定理46
3.2 典型例題分析46
3.2.1 題型一、導數的定義問題46
3.2.2 題型二、反函數、復合函數求導問題48
3.2.3 題型三、導數的幾何意義49
3.2.4 題型四、利用導數的定義求極限50
3.2.5 題型五、分段函數的導數問題51
3.2.6 題型六、高階導數問題51
3.2.7 題型七、隱函數的求導問題54
3.2.8 題型八、導數的等式證明問題54
3.2.9 題型九、導函數的連續(xù)性問題55
*3.2.10 題型十、導數的參數方程問題56
3.2.11 題型十一、導數的綜合問題57
3.3 深化訓練58
3.4 深化訓練詳解60
第4章 微分中值定理64
4.1 知識要點64
4.1.1 中值定理64
4.1.2 一些常用的麥克勞林公式65
4.1.3 一些常用的結論或公式66
4.2 典型例題分析66
4.2.1 題型一、利用中值定理證明等式問題66
4.2.2 題型二、利用中值定理證明不等式問題69
4.2.3 題型三、利用中值定理證明恒等式73
4.2.4 題型四、函數的零點、方程的根的問題74
4.2.5 題型五、利用泰勒公式求極限75
4.2.6 題型六、利用泰勒公式證明等式80
4.2.7 題型七、利用泰勒公式證明不等式80
4.2.8 題型八、泰勒公式的其他應用82
4.3 深化訓練82
4.4 深化訓練詳解84
第5章 導數的應用89
5.1 知識要點89
5.1.1 洛必達法則89
5.1.2 函數的單調性89
5.1.3 函數的極值與最值89
5.1.4 曲線的凹凸區(qū)間與拐點89
5.1.5 曲線的漸近線90
5.1.6 函數圖形的描繪90
*5.1.7 曲率、曲率圓與曲率半徑90
5.2 典型例題分析91
5.2.1 題型一、洛必達法則的應用91
5.2.2 題型二、利用單調性或極值證明不等式94
5.2.3 題型三、函數的極值問題96
5.2.4 題型四、函數的零點、方程的根的問題99
5.2.5 題型五、凹凸性問題100
5.2.6 題型六、漸近線問題100
5.2.7 題型七、函數圖形的描繪102
5.2.8 題型八、方程的近似解102
*5.2.9 題型九、曲率問題103
5.3 深化訓練104
5.4 深化訓練詳解105
第6章 不定積分113
6.1 知識要點113
6.1.1 不定積分的定義與性質113
6.1.2 換元積分法113
6.1.3 分部積分法114
6.1.4 有理函數的積分法114
6.1.5 三角函數有理式的積分法114
6.1.6 簡單無理函數的積分法115
6.1.7 常用積分公式表115
6.2 典型例題分析116
6.2.1 題型一、利用換元法、分部積分法求解不定積分116
6.2.2 題型二、利用等式求解不定積分120
6.2.3 題型三、利用三角替換方法求解不定積分121
6.2.4 題型四、求解三角有理函數的不定積分123
6.2.5 題型五、遞推公式問題124
6.2.6 題型六、分段函數問題125
6.2.7 題型七、隱函數的積分126
6.3 深化訓練126
6.4 深化訓練詳解128
第7章 定積分134
7.1 知識要點134
7.1.1 定積分的概念134
7.1.2 定積分的基本性質135
7.1.3 積分中值定理135
7.1.4 變上限積分函數136
7.1.5 定積分的計算136
7.1.6 反常積分（或廣義積分）136
7.1.7 函數137
7.1.8 定積分的應用137
7.1.9 幾個重要的結論139
7.2 典型例題分析140
7.2.1 題型一、定積分的求解140
7.2.2 題型二、 變限積分問題141
7.2.3 題型三、積分不等式問題142
7.2.4 題型四、積分等式問題146
7.2.5 題型五、反常積分問題148
7.2.6 題型六、積分的應用問題149
7.2.7 題型七、定積分的其他問題153
7.3 深化訓練156
7.4 深化訓練詳解158
第8章 多元函數微分學166
8.1 知識要點166
8.1.1 二元函數的極限與連續(xù)性166
8.1.2 偏導數166
8.1.3 高階偏導數167
8.1.4 全微分168
*8.1.5 方向導數與梯度168
8.1.6 多元復合函數微分法169
8.1.7 隱函數微分法169
8.1.8 多元函數的極值169
8.1.9 條件極值與拉格朗日乘數法170
8.1.10 多元函數的最值170
8.2 典型例題分析170
8.2.1 題型一、多元函數的極限與連續(xù)問題170
8.2.2 題型二、偏導數的概念問題172
8.2.3 題型三、多元函數的全微分問題174
*8.2.4 題型四、多元函數的方向導數和梯度的求解176
8.2.5 題型五、多元函數的復合求導與隱函數求導問題177
8.2.6 題型六、多元函數的極值和最值問題183
8.2.7 題型七、多元函數微分學的綜合問題185
8.3 深化訓練187
8.4 深化訓練詳解189
第9章 多元函數積分學192
9.1 知識要點192
9.1.1 二重積分的概念192
9.1.2 二重積分的性質192
9.1.3 直角坐標系下二重積分的計算193
9.1.4 極坐標系下二重積分的計算193
9.1.5 二重積分的對稱性原理194
*9.1.6 二重積分的換元公式194
*9.1.7 三重積分的概念195
*9.1.8 三重積分的計算195
*9.1.9 三重積分的換元法196
*9.1.10 三重積分的對稱性原理196
9.2 典型例題分析197
9.2.1 題型一、二重積分的概念與性質問題197
9.2.2 題型二、二重積分的基本計算方法198
9.2.3 題型三、分段函數的二重積分200
9.2.4 題型四、利用對稱性原理計算二重積分201
9.2.5 題型五、二重積分的換元積分法205
9.2.6 題型六、二重積分的應用問題206
9.2.7 題型七、二重積分的相關證明207
9.2.8 題型七、二重積分的綜合問題209
*9.2.9 題型八、三重積分的性質與計算214
9.3 深化訓練218
9.4 深化訓練詳解220
第10章 常微分方程224
10.1 知識要點224
10.1.1 微分方程的基本概念224
10.1.2 一階微分方程的解法224
10.1.3 可降階的二階微分方程225
10.1.4 二階線性微分方程解的結構226
10.1.5 二階常系數線性微分方程的解法226
*10.1.6 高階線性微分方程227
*10.1.7 歐拉方程227
10.2 典型例題分析228
10.2.1 題型一、可分離變量微分方程與齊次微分方程的求解228
10.2.2 題型二、一階線性微分方程與伯努利方程的解法229
10.2.3 題型三、全微分方程的解法231
10.2.4 題型四、可降階的二階微分方程的解法232
10.2.5 題型五、二階線性微分方程解的結構233
10.2.6 題型六、二階常系數線性微分方程的解法234
10.2.7 題型七、微分方程的綜合問題237
*10.2.8 題型八、微分方程建模問題242
10.3 深化訓練245
10.4 深化訓練詳解247
第11章 無窮級數252
11.1 知識要點252
11.1.1 數項級數的定義與性質252
11.1.2 級數斂散性的判別253
11.1.3 三個重要的級數254
11.1.4 函數項級數的概念254
11.1.5 冪級數的有關概念255
11.1.6 冪級數的和函數的性質255
11.1.7 初等函數展開成xx0的冪級數256
*11.1.8 函數項級數的一致收斂性及性質256
*11.1.9 傅里葉級數257
11.2 典型例題分析259
11.2.1 題型一、正項級數斂散性的判定259
11.2.2 題型二、任意項級數斂散性的判定265
11.2.3 題型三、函數項級數收斂域的求解268
11.2.4 題型四、級數收斂充要條件的應用269
11.2.5 題型五、求解數項級數的和273
11.2.6 題型六、冪級數收斂半徑及收斂域的求解276
11.2.7 題型七、求解冪級數的和函數278
11.2.8 題型八、函數的冪級數展開283
*11.2.9 題型九、傅里葉級數的相關問題286
11.2.10 題型十、無窮級數的應用問題287
11.3 深化訓練288
11.4 深化訓練詳解291
*第12章 空間解析幾何與向量代數302
12.1 知識要點302
12.1.1 向量的概念及線性運算302
12.1.2 平面方程及其相關概念303
12.1.3 直線及其表示303
12.1.4 曲面及其表示304
12.1.5 空間曲線304
12.2 典型例題分析305
12.2.1 題型一、向量的運算問題305
12.2.2 題型二