工程數(shù)學(xué)

第1章數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識1

1.1線性空間與賦范線性空間1

1.1.1線性空間（1）

1.1.2賦范線性空間（3）

1.2內(nèi)積空間7

1.2.1內(nèi)積及內(nèi)積空間的定義（7）

1.2.2內(nèi)積范數(shù)（9）

1.2.3內(nèi)積與正交投影及
投影向量（10）

1.2.4GramSchmidt正交化方法
（11）

1.2.5正交多項式（13）

1.2.6算子的概念（18）

1.3常用矩陣變換19

1.3.1Gauss變換陣與矩陣的
三角分解（19）

1.3.2Householder變換陣與矩陣的正交分解（22）

1.3.3Givens變換陣與正交分解（26）

1.3.4奇異值（SVD）分解（28）

1.3.5計算實例（29）

1.4算法穩(wěn)定性與有效數(shù)字35

1.4.1算法的穩(wěn)定性（35）

1.4.2誤差與有效數(shù)字（36）

習(xí)題137

第2章插值法38

2.1Lagrange插值法與
Newton插值法39

2.1.1多項式插值的存在唯一性（39）

2.1.2Lagrange插值法（40）

2.1.3Lagrange插值多項式的誤差（42）

2.1.4Newton（牛頓）插值法（43）

2.1.5Newton插值多項式的誤差（45）

2.1.6導(dǎo)數(shù)值作為插值條件的多項式插值（Hermite插值）（46）

2.2分段低次插值49

2.2.1高次插值的Runge現(xiàn)象（49）

2.2.2分段低次插值（50）

2.2.3三次樣條插值（52）

2.2.4實例計算（56）

2.3二元函數(shù)分片插值法59

2.3.1問題的提出（59）

2.3.2矩形域上的分片插值問題（60）

習(xí)題263

第3章小二乘原理及其應(yīng)用65

3.1小二乘原理65

3.2小二乘解的計算方法67

3.2.1內(nèi)積空間中小二乘解的計算方法（67）

3.2.2計算實例（73）

習(xí)題374

第4章數(shù)值積分法75

4.1等距節(jié)點的牛頓柯特斯公式76

4.1.1插值型求積公式（76）

4.1.2牛頓柯特斯（NewtonCotes）
求積公式（77）

4.1.3插值型求積公式的
代數(shù)精度（78）

4.1.4NewtonCotes公式的
截斷誤差（81）

4.1.5NewtonCotes公式的數(shù)值
穩(wěn)定性分析（83）

4.2復(fù)化求積法83

4.2.1復(fù)化求積公式（83）

4.2.2變步長復(fù)化求積公式（85）

4.3Gauss型求積公式89

4.3.1構(gòu)造Gauss型求積公式的
基本原理（89）

4.3.2構(gòu)造Gauss型求積公式的
具體方法（93）

4.3.3Gauss型求積公式的
穩(wěn)定性分析（97）

4.3.4實例應(yīng)用（98）

習(xí)題499




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第5章線性代數(shù)方程組的數(shù)值
解法101

5.1解線性代數(shù)方程組的
直接解法101

5.1.1Gauss消元法及其矩陣表示（102）

5.1.2正交分解法及其矩陣表示（105）

5.2解線性代數(shù)方程組的誤差
分析106

5.3解線性代數(shù)方程組的
迭代解法109

5.3.1構(gòu)造迭代格式的基本思想和
收斂性（109）

5.3.2三種經(jīng)典的迭代格式（111）

5.4解線性代數(shù)方程組的
變分方法115

5.4.1對稱正定線性代數(shù)方程組解的
變分原理（116）

5.4.2求解極小值點的一般方法（118）

5.4.3速下降法（119）

5.4.4共軛梯度法（120）

5.4.5計算實例（123）

習(xí)題5125

第6章非線性方程的數(shù)值解法127

6.1二分法128

6.1.1方程根的概念（128）

6.1.2二分法（129）

6.2迭代法及其收斂性130

6.2.1迭代格式的構(gòu)造及
收斂條件（130）

6.2.2迭代格式的局部收斂性（132）

6.3Newton迭代與割線法133

6.3.1Newton迭代格式（133）

6.3.2Newton迭代法的局部
收斂性（134）

6.3.3弦截法（134）

6.3.4計算實例（135）

6.4解非線性方程組的迭代法139

6.4.1不動點迭代法（139）

6.4.2NewtonRaphson迭代法（140）

習(xí)題6141

第7章常微分方程數(shù)值解法初步143

7.1求解初值問題數(shù)值方法的
基本原理144

7.1.1初值問題的數(shù)值解（144）

7.1.2構(gòu)造初值問題數(shù)值方法的
基本途徑（145）

7.1.3梯形公式與預(yù)估校正思想（146）

7.1.4單步法的誤差分析和
穩(wěn)定性（147）

7.2高精度的單步法152

7.2.1基本原理（152）

7.2.2二階RungeKutta方法
的推導(dǎo)（153）

7.2.3經(jīng)典的四階RK方法（154）

7.3線性多步法156

7.3.1基于數(shù)值積分的
Adams公式（157）

7.3.2預(yù)估校正算法（159）

7.4一階微分方程組的解法162

7.5邊值問題的打靶法和差分法164

7.5.1打靶法（Shooting Method）（164）

7.5.2差分法（Difference Method）（165）

7.6計算實例167

習(xí)題7168

第8章微分方程變分原理與有限元
方法初步171

8.1Hilbert空間與
Sobolev空間171

8.1.1Hilbert空間（171）

8.1.2Sobolev空間（172）

8.2數(shù)學(xué)物理中的變分問題175

8.3一維變分問題177

8.4二維變分問題182

8.4.1第一類邊值問題（182）

8.4.2其他邊值問題（185）

8.5變分問題的計算186

8.5.1Rtiz方法（186）

8.5.2Galerkin方法（187）

8.6有限元方法初步190

8.6.1從Ritz法出發(fā)（190）

8.6.2從Galerkin法出發(fā)（195）

習(xí)題8198

第9章參數(shù)估計與假設(shè)檢驗199

9.1參數(shù)估計方法200

9.1.1點估計（200）

9.1.2區(qū)間估計（202）

9.2假設(shè)檢驗203

9.2.1參數(shù)假設(shè)檢驗（203）

9.2.2分布假設(shè)檢驗（206）

習(xí)題9209

第10章回歸分析與方差分析211

10.1一元線性回歸212

10.1.1引言（212）

10.1.2一元線性回歸的
參數(shù)估計（213）

10.1.3模型檢驗（215）

10.1.4預(yù)測（216）

10.1.5控制（217）

10.2多元線性回歸218

10.2.1模型和參數(shù)估計（218）

10.2.2多元回歸模型的檢驗（221）

10.2.3預(yù)測（222）

10.2.4變量選擇及多元
共線性問題（223）

10.2.5線性回歸的推廣（228）

10.3方差分析229

10.3.1一元方差分析（229）

10.3.2二元方差分析（232）

習(xí)題10238

第11章線性反演理論初步243

11.1反演問題的基本概念243

11.1.1反演問題及其主要內(nèi)容（243）

11.1.2線性反演問題及其
一般論述（245）

11.1.3一些非線性問題線性化的
方法（249）

11.2離散型線性反演問題的
小長度解250

11.2.1長度及其對反演問題
求解的影響（250）

11.2.2適定和超定問題的求解（251）

11.2.3純欠定問題的求解（253）

11.2.4混定問題的求解——
馬夸特法（254）

11.2.5長度的加權(quán)度量與
反演問題的求解（255）

11.3BackusGilbert反演理論257

11.3.1在精確數(shù)據(jù)情況下連續(xù)
介質(zhì)的反演理論（258）

11.3.2BG線性評價（263）

習(xí)題11269

參考文獻271