大學(xué)數(shù)學(xué)教程

前言
第一篇 微 積 分
第1章 預(yù)備知識與函數(shù) 2
1.1 預(yù)備知識 2
1.1.1 實數(shù)與數(shù)軸 2
1.1.2 實數(shù)的絕對值 2
1.1.3 區(qū)間 3
1.2 函數(shù) 3
1.2.1 函數(shù)的定義 3
1.2.2 函數(shù)的性質(zhì) 5
1.2.3 反函數(shù) 7
1.2.4 基本初等函數(shù) 8
1.2.5 復(fù)合函數(shù) 10
第1章習(xí)題 12
第2章 極限與連續(xù) 17
2.1 極限的概念 17
2.1.1 數(shù)列極限的定義 17
2.1.2 函數(shù)極限的定義 18
2.2 無窮大量與無窮小量 20
2.2.1 無窮大量 20
2.2.2 無窮小量 20
2.2.3 無窮大量與無窮小量的關(guān)系 21
2.2.4 無窮小量階的比較 21
2.3 極限計算 21
2.3.1 利用極限的四則運算法則 21
2.3.2 直接代入法 22
2.3.3 利用有界變量與無窮小量的乘積
仍為無窮小量的性質(zhì)法 22
2.3.4 倒數(shù)法 22
2.3.5 約去零因式法 23
2.3.6 無窮小量分出法 23
2.3.7 通分法 24
2.3.8 有理化法 24
2.3.9 變量代換法 25
2.3.10 利用lim x→0sinxx =1計算相關(guān)
極限 25
2.3.11 利用lim x→∞ 1+1xx=e計算相關(guān)
極限 26
2.3.12 利用等價無窮小替換求極限 27
2.4 函數(shù)的連續(xù)性 28
2.4.1 函數(shù)的改變量 28
2.4.2 函數(shù)在一點連續(xù)的定義 28
2.4.3 連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間 30
2.4.4 初等函數(shù)的連續(xù)性 30
2.4.5 分段函數(shù)的連續(xù)性 30
*2.4.6 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 31
*2.5 應(yīng)用實例 33
2.5.1 存貸款利息計算 33
2.5.2 自然增長模型 34
第2章習(xí)題 35
第3章 導(dǎo)數(shù)與微分 40
3.1 導(dǎo)數(shù)概念 40
3.1.1 實例 40
3.1.2 導(dǎo)數(shù)的定義 41
3.1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 42
3.1.4 左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù) 43
3.1.5 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 44
3.2 求導(dǎo)數(shù)的方法 44
3.2.1 基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式 45
3.2.2 導(dǎo)數(shù)運算法則 45
3.2.3 反函數(shù)求導(dǎo)法則 46
3.2.4 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則(鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則) 47
3.2.5 隱函數(shù)求導(dǎo)法 49
*3.2.6 對數(shù)求導(dǎo)法 50
3.2.7 高階導(dǎo)數(shù) 51
3.3 微分 52
3.3.1 微分的定義 52
3.3.2 導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系 53
3.3.3 微分的幾何意義 54
3.3.4 微分計算 54
3.3.5 微分的應(yīng)用———近似計算 55
第3章習(xí)題 56
第4章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 59
4.1 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用———洛必達(dá)法則 59
4.1.1 00型未定式 59
4.1.2 ∞∞型未定式 60
4.1.3 其他類型的未定式 61
4.2 函數(shù)的單調(diào)性和極值 63
4.2.1 函數(shù)單調(diào)性 63
4.2.2 函數(shù)的極值 65
4.3 最值及其應(yīng)用 68
4.3.1 閉區(qū)間上函數(shù)的最值 68
4.3.2 最值的應(yīng)用 69
*4.4 函數(shù)圖形的描繪 74
4.4.1 曲線的凹向和拐點 74
4.4.2 曲線的漸近線 76
4.4.3 函數(shù)圖形的描繪 78
4.5 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用 79
4.5.1 邊際分析 79
4.5.2 彈性分析 81
*4.5.3 相關(guān)變化率 84
*4.5.4 最小二乘法 84
第4章習(xí)題 88
第5章 不定積分 93
5.1 不定積分的概念 93
5.1.1 原函數(shù) 93
5.1.2 不定積分的概念 94
5.1.3 不定積分的幾何意義 94
5.2 不定積分的性質(zhì) 95
5.3 基本積分公式 96
5.4 換元積分法 98
5.4.1 第一類換元法(復(fù)合函數(shù)湊微
分法) 98
5.4.2 第二類換元法 102
5.5 分部積分法 107
第5章習(xí)題 109
第6章 定積分 112
6.1 定積分的概念和性質(zhì) 112
6.1.1 從阿基米德的窮竭法談起 112
6.1.2 曲邊梯形的面積計算 112
6.1.3 定積分的概念 113
*6.1.4 定積分的存在定理 115
6.1.5 定積分的性質(zhì) 115
6.2 微積分基本定理 117
6.2.1 積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 118
6.2.2 微積分基本定理及其應(yīng)用 119
6.3 定積分的計算方法 120
6.3.1 定積分的湊微分法 120
6.3.2 定積分的換元法 121
6.3.3 定積分的分部積分法 123
*6.4 廣義積分 124
6.4.1 無窮區(qū)間的廣義積分 124
6.4.2 無界函數(shù)的廣義積分 126
6.5 積分的應(yīng)用 128
6.5.1 求原函數(shù) 128
6.5.2 求平面圖形的面積 129
6.5.3 求旋轉(zhuǎn)體的體積 130
6.5.4 求總量 131
*6.5.5 求資產(chǎn)的未來價值與現(xiàn)行價值 132
第6章習(xí)題 135
第7章 微分方程初步 142
7.1 微分方程的基本概念 142
7.2 可分離變量的一階微分方程 144
7.3 一階線性微分方程 146
7.3.1 一階線性微分方程的概念 146
7.3.2 一階線性齊次方程的解法 146
7.3.3 一階線性非齊次微分方程的解法 147
*7.4 可降階的二階微分方程 149
7.4.1 y″=f(x)型的二階微分方程 149
7.4.2 y″=f(x,y')(不顯含未知函數(shù)y)型的二階微分方程 150
7.4.3 y″=f(y,y')(不顯含自變量x)型的二階微分方程 150
7.5 微分方程的應(yīng)用 151
第7章習(xí)題 155
第二篇 線性代數(shù)
第8章 行列式 160
8.1 行列式的定義 160
8.1.1 二階行列式 160
8.1.2 三階行列式 161
8.1.3 n 階行列式 163
8.2 行列式的性質(zhì)及計算 164
8.2.1 行列式的基本性質(zhì) 164
8.2.2 行列式按行(列)展開定理 166
8.2.3 行列式的計算 168
第8章習(xí)題 171
第9章 矩陣 174
9.1 矩陣的定義 174
9.1.1 引例 174
9.1.2 矩陣的概念 175
9.1.3 幾種特殊矩陣 175
9.2 矩陣的運算 176
9.2.1 矩陣的加法運算 176
9.2.2 矩陣的數(shù)乘運算 177
9.2.3 矩陣的乘法運算 177
9.2.4 矩陣的逆 180
9.3 矩陣的初等變換 181
9.3.1 矩陣的初等行變換 181
9.3.2 求逆矩陣的初等變換法 183
9.4 案例 184
第9章習(xí)題 188
第10章 線性方程組 191
10.1 克拉默法則解線性方程組 191
10.2 消元法解線性方程組 193
10.3 案例 198
第10章習(xí)題 201
第三篇 概率論與數(shù)理統(tǒng)計
第11章 隨機(jī)事件及概率 204
11.1 隨機(jī)事件 204
11.1.1 隨機(jī)現(xiàn)象 204
11.1.2 隨機(jī)試驗 204
11.1.3 樣本空間 205
11.1.4 隨機(jī)事件 205
11.1.5 事件的集合表示 206
11.1.6 事件的關(guān)系及其運算 206
11.1.7 事件的運算律 208
11.2 隨機(jī)事件的概率 210
11.2.1 概率的統(tǒng)計定義 210
11.2.2 概率的古典定義 211
11.2.3 概率的公理化定義 212
11.3 條件概率 213
11.3.1 條件概率 213
11.3.2 乘法公式 214
11.4 事件的獨立性 215
第11章習(xí)題 216
第12章 隨機(jī)變量及其分布 218
12.1 隨機(jī)變量 218
12.2 離散型隨機(jī)變量及其分布 219
12.3 隨機(jī)變量的分布函數(shù) 221
12.3.1 隨機(jī)變量的分布函數(shù) 221
12.3.2 離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù) 222
12.4 連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布 223
第12章習(xí)題 230
第13章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 232
13.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 232
13.1.1 數(shù)學(xué)期望的定義 232
13.1.2 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 235
13.1.3 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 236
13.2 方差 237
13.2.1 方差的概念 237
13.2.2 隨機(jī)變量的方差的性質(zhì) 239
13.2.3 常見分布的期望和方差 239
第13章習(xí)題 241
第14章 數(shù)理統(tǒng)計初步 243
14.1 總體與樣本 243
14.2 統(tǒng)計量及其分布 244
14.2.1 統(tǒng)計量 244
14.2.2 幾種常用統(tǒng)計量的分布 245
14.2.3 幾個重要的抽樣分布定理 246
14.3 統(tǒng)計推斷 246
14.3.1 點估計方法 247
14.3.2 區(qū)間估計 249
14.4 假設(shè)檢驗 252
第14章習(xí)題 259
習(xí)題參考答案 261