工程數(shù)學(xué)：復(fù)變函數(shù)、矢量分析與場論、數(shù)學(xué)物理方法

第1篇復(fù)變函數(shù)

第1章復(fù)變函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)與積分

1.1引言

1.2復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

1.2.1復(fù)數(shù)

1.2.2復(fù)平面

1.2.3復(fù)數(shù)加法的幾何表示

1.2.4復(fù)平面上的點(diǎn)集

1.2.5復(fù)變函數(shù)

1.3復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)

1.4復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)

1.5解析函數(shù)

1.5.1復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分

1.5.2解析函數(shù)的概念及其簡單性質(zhì)

1.5.3柯西黎曼條件

1.6復(fù)變函數(shù)的積分

1.6.1復(fù)變函數(shù)積分的概念與計算

1.6.2復(fù)變函數(shù)積分的簡單性質(zhì)

1.6.3柯西積分定理及其推廣

1.6.4柯西積分公式及其推論

習(xí)題1

第2章復(fù)變函數(shù)的冪級數(shù)

2.1復(fù)數(shù)序列和復(fù)數(shù)項級數(shù)

2.1.1復(fù)數(shù)序列及其收斂性

2.1.2復(fù)數(shù)項級數(shù)及其收斂性

2.1.3復(fù)數(shù)項級數(shù)的絕對收斂性

2.2復(fù)變函數(shù)項級數(shù)和復(fù)變函數(shù)序列

2.3冪級數(shù)

2.4冪級數(shù)和函數(shù)的解析性

2.5解析函數(shù)的泰勒展開式

2.6解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性及唯一性定理

2.7解析函數(shù)的洛朗級數(shù)展開式

2.7.1洛朗級數(shù)

2.7.2解析函數(shù)的洛朗展開式

2.7.3洛朗級數(shù)與泰勒級數(shù)的關(guān)系

2.7.4解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的洛朗展開式

2.8解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)及其分類



2.8.1可去奇點(diǎn)

2.8.2極點(diǎn)

2.8.3本性奇點(diǎn)

2.8.4復(fù)變函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)

習(xí)題2

第3章留數(shù)及其應(yīng)用

3.1留數(shù)與留數(shù)定理

3.2留數(shù)的計算

3.2.1一級極點(diǎn)的情形

3.2.2高級極點(diǎn)的情形

3.3無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的留數(shù)

3.4留數(shù)在定積分計算中的應(yīng)用

3.4.1形如∫2π0R(cosθ,sinθ)dθ的積分

3.4.2形如∫+∞-∞R(x)dx的積分

3.4.3形如∫+∞-∞P(x)Q(x)eimxdx的積分

3.5復(fù)變函數(shù)在物理中的應(yīng)用簡介

3.5.1解析函數(shù)的物理解釋

3.5.2兩種特殊區(qū)域上解析函數(shù)的實部和虛部的關(guān)系泊松積分公式

習(xí)題3

第2篇矢量分析與場論

第4章矢量分析與場論初步

4.1矢量函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)與積分

4.1.1場與矢量函數(shù)

4.1.2矢量函數(shù)的極限與連續(xù)性

4.1.3矢量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

4.1.4矢量函數(shù)的積分

4.2梯度、散度與旋度在正交曲線坐標(biāo)系中的表達(dá)式

4.2.1直角坐標(biāo)系下“三度”及哈密頓算子

4.2.2正交曲線坐標(biāo)系下的“三度”

4.3正交曲線坐標(biāo)系下的拉普拉斯算符、格林第一公式和格林第二公式

4.4算子方程

習(xí)題4

第3篇數(shù)學(xué)物理方法

第5章數(shù)學(xué)物理方程及其定解條件

5.1數(shù)學(xué)物理基本方程的建立

5.1.1波動方程

5.1.2熱傳導(dǎo)方程和擴(kuò)散方程

5.1.3泊松方程和拉普拉斯方程

5.1.4亥姆霍茲方程

5.2定解條件

5．2．1初始條件

5.2.2邊界條件

5.3定解問題的提法

5.4二階線性偏微分方程的分類與化簡解的疊加原理

5.4.1含有兩個自變量二階線性偏微分方程的分類與化簡

5.4.2線性偏微分方程的疊加原理

習(xí)題5

第6章分離變量法

6.1(1+1)維齊次方程的分離變量法

6.1.1有界弦的自由振動

6.1.2有限長桿上的熱傳導(dǎo)

6.2二維拉普拉斯方程的定解問題

6.3非齊次方程的解法

6.4非齊次邊界條件的處理

習(xí)題6

第7章二階常微分方程的級數(shù)解法本征值問題

7.1二階常微分方程的級數(shù)解法

7.1.1常點(diǎn)鄰域內(nèi)的級數(shù)解法

7.1.2勒讓德方程的級數(shù)解

7.1.3正則奇點(diǎn)和非正則奇點(diǎn)附近的級數(shù)解

7.1.4貝塞爾方程的級數(shù)解

7.2施圖姆劉維爾本征值問題

7.2.1施圖姆劉維爾方程

7.2.2本征值問題的一般提法

7.2.3本征值問題的一般性質(zhì)

習(xí)題7

第8章貝塞爾函數(shù)及其應(yīng)用

8.1貝塞爾方程的引入

8.2貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)

8.2.1貝塞爾函數(shù)的基本形態(tài)及本征值問題

8.2.2貝塞爾函數(shù)的遞推公式

8.2.3貝塞爾函數(shù)的正交性和模方

8.2.4按貝塞爾函數(shù)的廣義傅里葉級數(shù)展開

8.3貝塞爾函數(shù)在定解問題中的應(yīng)用

*8.4修正貝塞爾函數(shù)

8.4.1第一類修正貝塞爾函數(shù)

8.4.2第二類修正貝塞爾函數(shù)

*8.5可化為貝塞爾方程的方程

8.5.1開爾文方程

8.5.2其他例子

8.5.3含貝塞爾函數(shù)的積分

習(xí)題8

第9章勒讓德多項式及其應(yīng)用

9.1勒讓德方程與勒讓德多項式的引入

9.2勒讓德多項式的性質(zhì)

9.2.1勒讓德多項式的微分表示

9.2.2勒讓德多項式的積分表示

9.2.3勒讓德多項式的母函數(shù)

9.2.4勒讓德多項式的遞推公式

9.2.5勒讓德多項式的正交歸一性

9.2.6按Pn(x)的廣義傅里葉級數(shù)展開

9.2.7一個重要公式

9.3勒讓德多項式的應(yīng)用

*9.4關(guān)聯(lián)勒讓德多項式

9.4.1關(guān)聯(lián)勒讓德函數(shù)的微分表示

9.4.2關(guān)聯(lián)勒讓德函數(shù)的積分表示

9.4.3關(guān)聯(lián)勒讓德函數(shù)的正交性與模方

9.4.4按Pml(x)的廣義級數(shù)展開

9.4.5關(guān)聯(lián)勒讓德函數(shù)的遞推公式

*9.5其他特殊函數(shù)方程簡介

9.5.1埃爾米特多項式

9.5.2拉蓋爾多項式

習(xí)題9

第10章行波法與積分變換法

10.1一維波動方程的達(dá)朗貝爾公式

10.2三維波動方程的泊松公式

10.2.1三維波動方程的球?qū)ΨQ解

10.2.2三維波動方程的泊松公式

10.2.3泊松公式的物理意義

10.3傅里葉積分變換法求解定解問題

10.3.1預(yù)備知識——傅里葉變換及性質(zhì)

10.3.2傅里葉變換法

10.4拉普拉斯變換法求解定解問題

10.4.1拉普拉斯變換及其性質(zhì)

10.4.2拉普拉斯變換法

習(xí)題10

第11章格林函數(shù)法

11.1引言

11.2δ函數(shù)的定義與性質(zhì)

11.2.1δ函數(shù)的定義

11.2.2廣義函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

11.2.3δ函數(shù)的傅里葉變換

11.2.4高維δ函數(shù)

11.3泊松方程的邊值問題

11.3.1格林公式

11.3.2解的積分形式——格林函數(shù)法

11.3.3格林函數(shù)關(guān)于源點(diǎn)和場點(diǎn)是對稱的

11.4格林函數(shù)的一般求法

11.4.1無界區(qū)域的格林函數(shù)

11.4.2用本征函數(shù)展開法求邊值問題的格林函數(shù)

11.5用電像法求某些特殊區(qū)域的狄利克雷格林函數(shù)

11.5.1泊松方程的狄利克雷格林函數(shù)及其物理意義

11.5.2用電像法求格林函數(shù)

習(xí)題11

附錄A常微分方程簡介

附錄BΓ函數(shù)的定義和基本性質(zhì)

附錄C通過計算留數(shù)求拉普拉斯變換的反演

附錄D傅里葉變換和拉普拉斯變換簡表