黎曼幾何

目錄
前言
第一講 黎曼度量 1
1.1 黎曼度量的定義 1
1.2 黎曼流形的例子 2
1.3 黎曼流形上的變換 4
1.4 附注 6
1.5 習(xí)題 7
第二講 黎曼聯(lián)絡(luò) 9
2.1 仿射聯(lián)絡(luò) 9
2.2 Levi-Civita聯(lián)絡(luò) 11
2.3 聯(lián)絡(luò)形式 13
2.4 附注 14
2.5 習(xí)題 15
第三講 黎曼流形上的微分算子 16
3.1 梯度和散度 16
3.2 Laplace算子和Hessian算子 17
3.3 Hodge理論 18
3.4 附注 22
3.5 習(xí)題 22
第四講 平行移動(dòng)和測(cè)地線 23
4.1 平行移動(dòng) 23
4.2 測(cè)地線 25
4.3 射影變換 27
4.4 附注 28
4.5 習(xí)題 29
第五講 弧長(zhǎng)的第一變分 30
5.1 指數(shù)映射 30
5.2 曲線的變分 31
5.3 兩個(gè)應(yīng)用 33
5.4 附注 35
5.5 習(xí)題 35
第六講 完備性 37
6.1 距離函數(shù) 37
6.2 Hopf-Rinow定理 40
6.3 附注 43
6.4 習(xí)題 43
第七講 曲率算子和曲率形式 44
7.1 曲率算子 44
7.2 曲率形式 48
7.3 附注 52
7.4 習(xí)題 52
第八講 截面曲率 54
8.1 截面曲率的定義 54
8.2 常曲率空間 57
8.3 附注 60
8.4 習(xí)題 61
第九講 弧長(zhǎng)的第二變分 62
9.1 第二變分公式 62
9.2 Weinstein定理和Synge定理 64
9.3 連通性 65
9.4 附注 66
9.5 習(xí)題 67
第十講 Ricci曲率和數(shù)量曲率 68
10.1 Ricci曲率 68
10.2 數(shù)量曲率 73
10.3 附注 73
10.4 習(xí)題 74
第十一講 測(cè)地變分和Jacobi場(chǎng) 75
11.1 測(cè)地變分 75
11.2 共軛點(diǎn) 79
11.3 割跡 81
11.4 附注 82
11.5 習(xí)題 82
第十二講 體積比較定理 83
12.1 相對(duì)體積比較定理 83
12.2 體積比較定理的應(yīng)用 86
12.3 附注 89
12.4 習(xí)題 89
第十三講 仿射變換和射影對(duì)應(yīng) 91
13.1 仿射變換 91
13.2 射影等價(jià)性 93
13.3 附注 96
13.4 習(xí)題 97
第十四講 齊性黎曼流形 98
14.1 齊性空間 98
14.2 不變黎曼度量 100
14.3 對(duì)稱空間 103
14.4 附注 105
14.5 習(xí)題 105
參考文獻(xiàn) 107
索引 110