薛定宇教授大講堂：MATLAB微積分運(yùn)算（卷Ⅱ）

目　錄
CONTENTS
第 1章微積分問題簡介 1
1.1微積分學(xué)發(fā)展簡史 1
1.2本書的主要內(nèi)容 · 4
第 2章函數(shù)與序列 · 6
2.1函數(shù)與映射 · 6
2.1.1函數(shù)的定義與描述 6
2.1.2常用超越函數(shù)的 MATLAB計算 7
2.1.3一般函數(shù)的 MATLAB表示 · 7
2.1.4函數(shù)的曲線與曲面表示 8
2.2不同函數(shù)的 MATLAB表示 · 9
2.2.1反函數(shù) · 9
2.2.2復(fù)合函數(shù) · 9
2.2.3分段函數(shù)的描述 10
2.2.4隱函數(shù) · 12
2.2.5參數(shù)方程 · 13
2.2.6極坐標(biāo)函數(shù) · 16
2.3奇函數(shù)與偶函數(shù) · 17
2.4復(fù)變函數(shù)與映射 · 18
2.4.1復(fù)數(shù)矩陣及其變換 18
2.4.2復(fù)變函數(shù)的映射 18
2.4.3 Riemann曲面的繪制 19
2.5序列與函數(shù)項序列 22本章習(xí)題 23
第 3章函數(shù)與序列的極限 26
3.1單變量函數(shù)的極限 27
3.1.1單變量函數(shù)極限的 φ–α定義 · 27
·iv·薛定宇教授大講堂（卷 II）：MATLAB微積分運(yùn)算
3.1.2函數(shù)極限的計算機(jī)求解 29
3.1.3復(fù)合函數(shù)的極限 31
3.1.4序列的極限 · 31
3.1.5分段函數(shù)的極限 32
3.1.6無窮小量與無窮大量 33
3.2單邊極限與函數(shù)連續(xù)性 33
3.2.1左極限與右極限 33
3.2.2函數(shù)的連續(xù)性 35
3.2.3區(qū)間極限運(yùn)算 36
3.2.4函數(shù)連續(xù)性的應(yīng)用方程解的判定 · 37
3.3復(fù)函數(shù)的奇點(diǎn)、極點(diǎn)與留數(shù) · 38
3.3.1奇點(diǎn)與極點(diǎn)的計算 38
3.3.2復(fù)變函數(shù)的留數(shù) 39
3.4多元函數(shù)的極限 · 41
3.4.1累極限 · 41
3.4.2重極限及其計算 42本章習(xí)題 44第 4章函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分 47
4.1函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和高階導(dǎo)數(shù) 48
4.1.1函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分 48
4.1.2函數(shù)導(dǎo)數(shù)與高階導(dǎo)數(shù) 48
4.1.3復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 51
4.1.4分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 52
4.1.5矩陣的導(dǎo)數(shù) · 53
4.2參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù) · 53
4.3多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 55
4.3.1偏導(dǎo)數(shù) · 55
4.3.2全微分 · 58
4.3.3多元復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 58
4.4場的梯度、散度與旋度 · 59
4.4.1標(biāo)量場與向量場 59
4.4.2梯度、散度與旋度 · 59
4.4.3向量場的勢 · 61
4.5多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)矩陣 61
4.5.1 Jacobi矩陣 61
4.5.2 Hesse矩陣 62
4.5.3標(biāo)量函數(shù)的 Laplace算子 · 63
4.6隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) · 63
4.6.1單個隱函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù) 63
4.6.2隱函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) 64
4.6.3隱函數(shù)方程組的偏導(dǎo)數(shù)計算· 66
4.7導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用 68
4.7.1極值問題 · 68
4.7.2 Newton–Raphson迭代方法 · 71
4.7.3曲面的切面方程與法線方程· 72本章習(xí)題 73
第 5章函數(shù)的積分 · 75
5.1單變量函數(shù)的不定積分 76
5.2定積分與反常積分 79
5.2.1定積分 · 79
5.2.2廣義積分與反常積分 81
5.3多重積分問題的 MATLAB求解 · 83
5.3.1多重不定積分 84
5.3.2待定多項式的構(gòu)造 85
5.3.3多重定積分的計算 86
5.3.4積分區(qū)域的處理與變換 87
5.4定積分的應(yīng)用 · 88
5.4.1曲線弧長的計算 88
5.4.2旋轉(zhuǎn)體的體積計算 89
5.4.3三維圖形圍成的體積與質(zhì)量計算 · 90
5.4.4概率密度與分布函數(shù) 91
5.4.5積分變換入門 92
5.5曲線積分 · 92
5.5.1第一類曲線積分 93
5.5.2第二類曲線積分 95
5.6曲面積分 · 96
5.6.1第一類曲面積分 96
5.6.2第二類曲面積分 98
·vi·薛定宇教授大講堂（卷 II）：MATLAB微積分運(yùn)算
本章習(xí)題 100
第 6章級數(shù)展開與函數(shù)逼近 103
6.1級數(shù)求和 · 103
6.1.1數(shù)項級數(shù)的求和 104
6.1.2無窮級數(shù)求和計算 106
6.1.3函數(shù)項級數(shù)的求和 108
6.1.4特殊的無窮項問題 109
6.2無窮級數(shù)的收斂性判定 111
6.2.1正項級數(shù)的一般描述 111
6.2.2正項級數(shù)的收斂性判定 111
6.2.3交替級數(shù)的收斂性判定 113
6.2.4函數(shù)項級數(shù)的收斂區(qū)間 114
6.3序列求積問題 · 115
6.3.1數(shù)項序列的乘積 115
6.3.2函數(shù)項序列的乘積 116
6.3.3正項序列求積的收斂性判定· 116
6.4 Taylor冪級數(shù)展開 117
6.4.1單變量函數(shù)的 Taylor冪級數(shù)展開 · 118
6.4.2多元函數(shù)的 Taylor冪級數(shù)展開· 121
6.5 Fourier級數(shù)展開 · 122
6.5.1 Fourier級數(shù)的數(shù)學(xué)描述 122
6.5.2 Fourier級數(shù)的 MATLAB實(shí)現(xiàn) · 123
6.6單變量函數(shù)的有理函數(shù)近似 126
6.6.1函數(shù)的連分式近似 126
6.6.2函數(shù)的 Padé近似 · 130
6.7 Laurent級數(shù)展開· 131
6.7.1復(fù)變函數(shù)的 Laurent級數(shù)展開 · 131
6.7.2有理函數(shù)的 Laurent級數(shù) · 133本章習(xí)題 135
第 7章數(shù)值導(dǎo)數(shù)與微分 139
7.1數(shù)值導(dǎo)數(shù)算法 · 139
7.1.1前向差分與后向差分算法 140
7.1.2 o(h2)精度中心差分算法 · 140
7.1.3 o(h4)精度中心差分算法 · 141
7.1.4更高精度的中心差分公式 141
7.1.5一般高階差分公式的推導(dǎo)與計算 · 142
7.1.6高精度前向與后向差分算法· 145
7.2數(shù)值導(dǎo)數(shù)計算的 MATLAB實(shí)現(xiàn) · 146
7.2.1二階精度算法的實(shí)現(xiàn) 147
7.2.2七點(diǎn)中心算法的實(shí)現(xiàn) 148
7.2.3前向差分?jǐn)?shù)值導(dǎo)數(shù)算法的實(shí)現(xiàn)· 149

7.3已知樣本點(diǎn)的任意階數(shù)值導(dǎo)數(shù)的求解函數(shù) · 151
7.4二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)計算 153
7.4.1梯度計算 · 153
7.4.2針對單變量的高精度偏導(dǎo)數(shù)算法 · 154
7.4.3混合偏導(dǎo)數(shù)的數(shù)值計算 156
7.4.4高階混合偏導(dǎo)數(shù)的數(shù)值計算· 157
7.5樣條插值與數(shù)值導(dǎo)數(shù)計算 158
7.5.1三次樣條 · 158
7.5.2 B樣條 · 161
7.5.3基于樣條的數(shù)值導(dǎo)數(shù)計算 162
7.5.4不等間距樣本散點(diǎn)的數(shù)值偏導(dǎo)數(shù)計算 · 165本章習(xí)題 167第 8章數(shù)值積分 · 169
8.1由給定樣本點(diǎn)求數(shù)值積分 169
8.1.1定積分的直接計算 169
8.1.2積分函數(shù)的重建 171

8.1.3等間距樣本點(diǎn)的高精度數(shù)值積分方法 · 172
8.2單變量數(shù)值積分問題求解 175
8.2.1簡單數(shù)值積分問題 175
8.2.2數(shù)值積分問題的 MATLAB求解 176
8.2.3反常積分的數(shù)值計算 180
8.2.4含參數(shù)函數(shù)的數(shù)值積分 181
8.2.5積分函數(shù)的數(shù)值求解 183
8.3雙重積分問題的數(shù)值解 184
8.3.1雙重定積分的計算 184
8.3.2雙重積分曲面的計算 185
8.3.3不同積分順序的雙重積分計算方法 · 185
·viii·薛定宇教授大講堂（卷 II）：MATLAB微積分運(yùn)算
8.4多重積分?jǐn)?shù)值求解 186
8.4.1三重定積分的數(shù)值求解 187
8.4.2含參數(shù)函數(shù)的三重積分 188
8.4.3多重積分?jǐn)?shù)值求解 189

8.4.4某些變邊界多重積分問題的數(shù)值求解方法 191
8.5數(shù)值積分的其他計算方法 191

8.5.1基于 Monte Carlo方法的數(shù)值積分近似 192
8.5.2基于樣條插值的數(shù)值積分 194
8.5.3多重積分的數(shù)值計算 196本章習(xí)題 197
第 9章積分變換 · 200
9.1 Laplace變換及其反變換 · 200
9.1.1 Laplace變換及反變換的定義與性質(zhì) 201
9.1.2 Laplace變換的計算機(jī)求解 202
9.1.3用 Laplace變換求解微分方程 204
9.2 Laplace變換問題的數(shù)值求解 206
9.2.1數(shù)值 Laplace反變換 · 206
9.2.2閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)的思想 207
9.2.3數(shù)值 Laplace變換· 208
9.2.4無理系統(tǒng)的響應(yīng)計算 211
9.3 Fourier變換及其反變換 211
9.3.1 Fourier變換及反變換定義與性質(zhì)· 212
9.3.2 Fourier變換的計算機(jī)求解 212
9.3.3 Fourier正弦和余弦變換 213
9.3.4離散 Fourier正弦、余弦變換 · 215
9.3.5快速 Fourier變換 · 216
9.4其他積分變換問題及求解 217
9.4.1 Mellin變換 217
9.4.2 Hankel變換及求解 219
9.5 z變換及其反變換 220
9.5.1 z變換及反變換定義與性質(zhì) · 221
9.5.2 z變換的計算機(jī)求解· 221
9.5.3雙邊 z變換 223
9.5.4有理函數(shù) z反變換的數(shù)值求解 · 223本章習(xí)題 224
第 10章分?jǐn)?shù)階微積分· 228
10.1分?jǐn)?shù)階微積分的定義 · 229
10.1.1為什么要引入分?jǐn)?shù)階微積分的概念 · 229
10.1.2分?jǐn)?shù)階微積分的定義 230
10.2不同分?jǐn)?shù)階微積分定義的關(guān)系與性質(zhì) 231
10.3 Grünwald–Letnikov定義的數(shù)值實(shí)現(xiàn) · 232
10.3.1 Grünwald–Letnikov定義 232
10.3.2高精度算法與實(shí)現(xiàn) 233
10.3.3不同精度算法的定量比較 · 237
10.4 Caputo微積分定義的數(shù)值計算 · 239
10.5 Oustaloup濾波算法及其應(yīng)用 241
10.5.1 Oustaloup濾波器近似 · 241
10.5.2 Caputo導(dǎo)數(shù)的濾波器近似 243

10.5.3基于 Simulink的 Caputo導(dǎo)數(shù)計算 245
10.6更高階導(dǎo)數(shù)與積分的數(shù)值計算 246本章習(xí)題 248參考文獻(xiàn)· 249 MATLAB函數(shù)名索引 · 251
術(shù)語索引· 255