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內(nèi)容簡介

　　本套書作為大學“高等代數(shù)”課程的創(chuàng)新教材，是g家級優(yōu)秀教學團隊（北京大學基礎數(shù)學教學團隊）課程建設的組成部分，是g家級教學名師多年來進行高等代數(shù)課程建設和教學改革的成果。本套書以講述線性空間及其線性映射為主線，遵循高等代數(shù)知識的內(nèi)在規(guī)律和學生的認知規(guī)律安排內(nèi)容體系，按照數(shù)學思維方式編寫，著重培養(yǎng)數(shù)學思維能力。上冊內(nèi)容包括線性方程組，行列式，n 維向量空間Kn，矩陣的運算，矩陣的相抵與相似，以及矩陣的合同與二次型等。下冊內(nèi)容包括一元和n 元多項式環(huán)，線性空間，線性映射，具有度量的線性空間，以及多重線性代數(shù)。書中每節(jié)均包括內(nèi)容精華、典型例題、習題，章末有補充題，還特別設置了“應用小天地暠板塊。本書內(nèi)容豐富、全面、深刻，闡述清晰、詳盡、嚴謹，可以幫助讀者在高等代數(shù)理論上和科學思維能力上達到相當?shù)母叨取１緯m合用作綜合大學、高等師范院校和理工科大學的“高等代數(shù)暠課程的教材，還可作為 “高等代數(shù)暠或“線性代數(shù)暠課程的教學參考書，也是數(shù)學教師和科研工作者高質(zhì)量的參考書。

作者簡介

　　丘維聲，北京大學數(shù)學科學學院教授，博士生導師，全國高等學校首屆g家級教學名師。長期從事高等代數(shù)、解析幾何、抽象代數(shù)、線性代數(shù)、群表示論的教學工作，從事代數(shù)組合論、群表示論、編碼和密碼的研究，在國內(nèi)外發(fā)表科研論文46篇，出版著作44部，出版譯著（合譯）6部，發(fā)表教學改革論文23篇。

圖書目錄

引言高等代數(shù)的內(nèi)容和學習方法………………………………………………………… 1
第1章線性方程組………………………………………………………………………… 4
1.1 解線性方程組的矩陣消元法…………………………………………………… 4
1.1.1 內(nèi)容精華………………………………………………………………… 4
1.1.2 典型例題………………………………………………………………… 12
習題1.1 ………………………………………………………………………… 16
1.2 線性方程組的解的情況及其判別準則………………………………………… 17
1.2.1 內(nèi)容精華………………………………………………………………… 17
1.2.2暋典型例題………………………………………………………………… 19
習題1.2 ………………………………………………………………………… 23
1.3 數(shù)域……………………………………………………………………………… 24
1.3.1 內(nèi)容精華………………………………………………………………… 24
1.3.2 典型例題………………………………………………………………… 25
習題1.3 ………………………………………………………………………… 26
補充題一……………………………………………………………………………… 26
應用小天地:配制食品模型…………………………………………………………… 26
第2章行列式…………………………………………………………………………… 28
2.1 n元排列………………………………………………………………………… 29
2.1.1 內(nèi)容精華………………………………………………………………… 29
2.1.2 典型例題………………………………………………………………… 30
習題2.1 ………………………………………………………………………… 32
2.2 n階行列式的定義……………………………………………………………… 33
2.2.1 內(nèi)容精華………………………………………………………………… 33
2.2.2 典型例題………………………………………………………………… 35
習題2.2 ………………………………………………………………………… 37
2.3 行列式的性質(zhì)…………………………………………………………………… 38
2.3.1 內(nèi)容精華………………………………………………………………… 38
2.3.2 典型例題………………………………………………………………… 43
習題2.3 ………………………………………………………………………… 46
2.4 行列式按一行(列)展開………………………………………………………… 47
2.4.1 內(nèi)容精華………………………………………………………………… 47
2.4.2 典型例題………………………………………………………………… 53
習題2.4 ………………………………………………………………………… 59
2.5 克拉默(Cramer)法則………………………………………………………… 62
2.5.1 內(nèi)容精華………………………………………………………………… 62
2.5.2 典型例題………………………………………………………………… 64
習題2.5 ………………………………………………………………………… 67
2.6 行列式按k行(列)展開………………………………………………………… 67
2.6.1 內(nèi)容精華………………………………………………………………… 67
2.6.2 典型例題………………………………………………………………… 69
習題2.6 ………………………………………………………………………… 71
補充題二……………………………………………………………………………… 71
應用小天地:行列式的應用舉例……………………………………………………… 72
第3章 n 維向量空間Kn ………………………………………………………………… 77
3.1 n維向量空間Kn 及其子空間………………………………………………… 77
3.1.1 內(nèi)容精華………………………………………………………………… 77
3.1.2 典型例題………………………………………………………………… 80
習題3.1 ………………………………………………………………………… 83
3.2 線性相關與線性無關的向量組………………………………………………… 84
3.2.1 內(nèi)容精華………………………………………………………………… 84
3.2.2 典型例題………………………………………………………………… 87
習題3.2 ………………………………………………………………………… 93
3.3 極大線性無關組,向量組的秩………………………………………………… 94
3.3.1 內(nèi)容精華………………………………………………………………… 94
3.3.2 典型例題………………………………………………………………… 97
習題3.3………………………………………………………………………… 101
3.4 向量空間Kn 及其子空間的基與維數(shù)……………………………………… 102
3.4.1 內(nèi)容精華……………………………………………………………… 102
3.4.2 典型例題……………………………………………………………… 104
習題3.4………………………………………………………………………… 105
3.5 矩陣的秩……………………………………………………………………… 106
3.5.1 內(nèi)容精華……………………………………………………………… 106
3.5.2 典型例題……………………………………………………………… 110
習題3.5………………………………………………………………………… 114
3.6 線性方程組有解的充分必要條件…………………………………………… 116
3.6.1 內(nèi)容精華……………………………………………………………… 116
3.6.2暋典型例題……………………………………………………………… 116
習題3.6………………………………………………………………………… 119
3.7 齊次線性方程組的解集的結(jié)構……………………………………………… 120
3.7.1 內(nèi)容精華……………………………………………………………… 120
3.7.2 典型例題……………………………………………………………… 122
習題3.7………………………………………………………………………… 125
3.8 非齊次線性方程組的解集的結(jié)構…………………………………………… 127
3.8.1 內(nèi)容精華……………………………………………………………… 127
3.8.2 典型例題……………………………………………………………… 128
習題3.8………………………………………………………………………… 132
補充題三……………………………………………………………………………… 132
應用小天地:線性方程組在幾何中的應用………………………………………… 133
第4章矩陣的運算……………………………………………………………………… 137
暋4.1 矩陣的加法、數(shù)量乘法與乘法運算…………………………………………… 137
4.1.1 內(nèi)容精華……………………………………………………………… 137
4.1.2 典型例題……………………………………………………………… 144
習題4.1………………………………………………………………………… 149
4.2 特殊矩陣……………………………………………………………………… 152
4.2.1 內(nèi)容精華……………………………………………………………… 152
4.2.2 典型例題……………………………………………………………… 156
習題4.2………………………………………………………………………… 162
4.3 矩陣乘積的秩與行列式……………………………………………………… 162
4.3.1 內(nèi)容精華……………………………………………………………… 162
4.3.2 典型例題……………………………………………………………… 167
習題4.3………………………………………………………………………… 175
4.4 可逆矩陣……………………………………………………………………… 176
4.4.1 內(nèi)容精華……………………………………………………………… 176
4.4.2 典型例題……………………………………………………………… 180
習題4.4………………………………………………………………………… 188
4.5 矩陣的分塊…………………………………………………………………… 190
4.5.1 內(nèi)容精華……………………………………………………………… 190
4.5.2 典型例題……………………………………………………………… 195
習題4.5………………………………………………………………………… 208
4.6 正交矩陣·歐幾里得空間Rn ……………………………………………… 210
4.6.1 內(nèi)容精華……………………………………………………………… 210
4.6.2 典型例題……………………………………………………………… 214
習題4.6………………………………………………………………………… 223
4.7 Kn 到Ks 的線性映射………………………………………………………… 225
4.7.1 內(nèi)容精華……………………………………………………………… 225
4.7.2 典型例題……………………………………………………………… 228
習題4.7………………………………………………………………………… 233
補充題四……………………………………………………………………………… 233
應用小天地:區(qū)組設計的關聯(lián)矩陣………………………………………………… 236
第5章矩陣的相抵與相似……………………………………………………………… 239
5.1 等價關系與集合的劃分……………………………………………………… 239
5.1.1 內(nèi)容精華……………………………………………………………… 239
5.1.2 典型例題……………………………………………………………… 241
習題5.1………………………………………………………………………… 243
5.2 矩陣的相抵…………………………………………………………………… 244
5.2.1 內(nèi)容精華……………………………………………………………… 244
5.2.2 典型例題……………………………………………………………… 245
習題5.2………………………………………………………………………… 249
5.3 廣義逆矩陣…………………………………………………………………… 250
5.3.1 內(nèi)容精華……………………………………………………………… 250
5.3.2 典型例題……………………………………………………………… 254
習題5.3………………………………………………………………………… 258
5.4 矩陣的相似…………………………………………………………………… 259
5.4.1 內(nèi)容精華……………………………………………………………… 259
5.4.2 典型例題……………………………………………………………… 260
習題5.4………………………………………………………………………… 263
5.5 矩陣的特征值和特征向量…………………………………………………… 264
5.5.1 內(nèi)容精華……………………………………………………………… 264
5.5.2 典型例題……………………………………………………………… 267
習題5.5………………………………………………………………………… 275
5.6 矩陣可對角化的條件………………………………………………………… 277
5.6.1 內(nèi)容精華……………………………………………………………… 277
5.6.2 典型例題……………………………………………………………… 279
習題5.6………………………………………………………………………… 286
5.7 實對稱矩陣的對角化………………………………………………………… 288
5.7.1 內(nèi)容精華……………………………………………………………… 288
5.7.2 典型例題……………………………………………………………… 291
習題5.7………………………………………………………………………… 295
補充題五……………………………………………………………………………… 296
應用小天地:矩陣的特征值在實際問題中的應用………………………………… 299
第6章二次型·矩陣的合同…………………………………………………………… 300
6.1 二次型及其標準形…………………………………………………………… 300
6.1.1 內(nèi)容精華……………………………………………………………… 300
6.1.2 典型例題……………………………………………………………… 305
習題6.1………………………………………………………………………… 316
6.2 實二次型的規(guī)范形…………………………………………………………… 317
6.2.1 內(nèi)容精華……………………………………………………………… 317
6.2.2 典型例題……………………………………………………………… 320
習題6.2………………………………………………………………………… 325
6.3 正定二次型與正定矩陣……………………………………………………… 325
6.3.1 內(nèi)容精華……………………………………………………………… 325
6.3.2 典型例題……………………………………………………………… 330
習題6.3………………………………………………………………………… 336
補充題六……………………………………………………………………………… 337
應用小天地:二次曲面的類型……………………………………………………… 339
習題答案與提示…………………………………………………………………………… 342
參考文獻…………………………………………………………………………………… 403
作者主要著譯作品………………………………………………………………………… 404