現(xiàn)代應用數(shù)學基礎（第二版）

目錄
第二版前言
第一版前言
第1章 集合與映射 1
1.1 集合 1
1.1.1 集合的概念 1
1.1.2 集合的運算 2
1.1.3 集合序列的極限 4
1.2 映射 5
1.2.1 映射的概念 5
1.2.2 復合映射及性質(zhì) 7
1.3 二元關系 7
1.3.1 二元關系的概念 7
1.3.2 等價關系 8
1.4 集合的勢 10
1.4.1 勢的概念 10
1.4.2 可數(shù)集與超窮數(shù) 10
1.5 序結構 11
1.5.1 序關系 11
1.5.2 確界與最大元 12
習題1 13
第2章 代數(shù)結構與抽象空間 15
2.1 代數(shù)結構 15
2.1.1 代數(shù)運算與同構 15
2.1.2 群 16
2.1.3 環(huán)與域 18
2.2 線性空間 19
2.2.1 線性空間的概念 19
2.2.2 線性空間的基與維數(shù) 21
2.2.3 線性空間中的一些基本概念 21
2.3 距離空間 23
2.3.1 距離空間的概念及舉例 23
2.3.2 距離空間的開集與閉集 25
2.3.3 極限與連續(xù)映射 27
2.3.4 距離空間的致密集與緊集 29
2.3.5 壓縮映射與不動點原理 29
2.4 賦范空間 32
2.4.1 賦范空間的概念和性質(zhì) 32
2.4.2 賦范空間的基 35
2.4.3 賦范空間的同構 35
2.5 內(nèi)積空間 36
2.5.1 內(nèi)積空間的基本概念 36
2.5.2 內(nèi)積空間的正交與投影 38
2.5.3 內(nèi)積空間的正交基 39
2.6 拓撲空間 41
2.6.1 拓撲空間的概念 41
2.6.2 連續(xù)映射與同胚 45
2.6.3 拓撲空間的連通性 47
2.6.4 拓撲空間的分離性與緊致性 49
2.7 拓撲線性空間 51
2.7.1 拓撲線性空間的概念 51
2.7.2 拓撲線性空間的局部基 52
2.7.3 局部凸空間 53
習題2 55
第3章 測度與積分 57
3.1 測度 57
3.1.1 測度空間 57
3.1.2 外測度及由它導出的測度 59
3.1.3 Rn上的Lebesgue測度 64
3.2 可測函數(shù)與可測函數(shù)的積分 65
3.2.1 可測函數(shù)的概念 65
3.2.2 可測函數(shù)的積分 66
3.2.3 積分號下的極限運算 71
習題3 72
第4章 泛函分析 74
4.1 算子與泛函 74
4.1.1 算子與泛函的概念 74
4.1.2 線性算子與線性泛函 75
4.1.3 幾種收斂概念 79
4.1.4 算子的微分 81
4.2 泛函的極值 86
4.2.1 泛函極值與變分的概念 86
4.2.2 Euler方程 90
4.2.3 泛函極值問題的近似解法 98
4.3 廣義函數(shù) 103
4.3.1 廣義函數(shù)的產(chǎn)生 103
4.3.2 基本函數(shù)空間與廣義函數(shù) 105
4.3.3 廣義函數(shù)的支集與廣義函數(shù)的導數(shù) 106
4.3.4 速降函數(shù)與緩增廣義函數(shù) 108
4.3.5 緩增廣義函數(shù)的Fourier變換 110
習題4 111
第5章 Sobolev空間 113
5.1 Sobolev空間中的基本概念 113
5.2 嵌入定理 115
5.3 Sobolev空間與廣義解 116
習題5 120
第6章 微分流形 121
6.1 多元映射的連續(xù)性與可微性 121
6.2 微分流形的定義 124
6.2.1 拓撲流形與微分流形 124
6.2.2 可微函數(shù)與可微映射 130
6.3 臨界點理論 132
6.3.1 臨界點與Sard定理 132
6.3.2 Morse理論 132
6.4 微分動力系統(tǒng) 135
6.4.1 微分方程組與向量場 135
6.4.2 相流、微分動力系統(tǒng) 139
6.5 微分流形理論在經(jīng)濟學中的應用 141
6.5.1 經(jīng)濟均衡的存在性 141
6.5.2 純交換經(jīng)濟中的均衡 143
6.5.3 福利經(jīng)濟基本定理 144
習題6 146
第7章 小波分析 147
7.1 窗口Fourier變換 147
7.1.1 Fourier變換 147
7.1.2 窗口Fourier變換 150
7.2 連續(xù)小波變換 151
7.3 二進小波、離散小波與框架 156
7.3.1 二進小波變換 156
7.3.2 離散小波變換 158
7.3.3 框架 158
7.4 正交小波基與多分辨分析 163
7.4.1 正交小波 163
7.4.2 多分辨分析 167
7.4.3 Mallat算法 171
7.4.4 小波與共軛濾波器 173
7.4.5 緊支集正交小波基 175
7.5 正交小波包 177
7.5.1 小波包的定義與性質(zhì) 177
7.5.2 最優(yōu)小波包基 180
7.6 多框架小波 182
7.6.1 雙正交小波 183
7.6.2 多框架小波 185
7.7 高維小波 187
7.8 小波分析應用簡介 190
7.8.1 信號的奇異性與小波變換 190
7.8.2 小波在信號消噪中的應用 192
7.8.3 小波在突變點檢測中的應用 194
7.8.4 二維小波變換在圖像處理中的應用 196
習題7 197
第8章 粗糙集簡介 198
8.1 知識與粗糙集 198
8.2 知識約簡 201
8.3 知識表達系統(tǒng) 203
8.3.1 信息系統(tǒng) 203
8.3.2 決策表 204
8.4 粗糙集模型的算法 207
8.4.1 單一屬性分類 208
8.4.2 支持子集與支持度 209
8.4.3 多個屬性等價類的交運算 212
8.4.4 屬性的獨立性 213
習題8 213
參考文獻 214
索引 216