高等代數(shù)

目錄
前言
第1章 行列式 1
1.1 2階行列式和3階行列式 1
1.1.1 引言 1
1.1.2 2階行列式和3階行列式的定義 2
1.1.3 2階行列式和3階行列式的性質(zhì) 4
1.2 n階行列式 13
1.2.1 n階行列式的定義 13
1.2.2 n階行列式的性質(zhì) 16
1.2.3 行列式的等價定義 18
1.3 n階行列式的計算 24
1.3.1 數(shù)字行列式 24
1.3.2 字母行列式 26
1.3.3 行列式的Laplace定理及其應用 31
1.4 Cramer法則 37
第2章 線性方程組與n維向量 43
2.1 線性方程組Gauss消元法 43
2.1.1 方程組的解 44
2.1.2 方程組的初等變換 45
2.1.3 矩陣的初等變換 47
2.2 向量及向量之間的線性關系 54
2.2.1 n維向量的定義 54
2.2.2 向量的運算 55
2.2.3 向量組的線性相關性 57
2.3 向量組的秩與矩陣的秩 67
2.3.1 向量組的秩 67
2.3.2 矩陣的秩 69
2.4 線性方程組解的結(jié)構(gòu)與求解 78
2.4.1 線性方程組解的結(jié)構(gòu) 79
2.4.2 線性方程組解的判定 80
2.4.3 線性方程組求解 81
2.4.4 方程組的公共解 90
2.4.5 解析幾何中的應用 91
第3章 矩陣 96
3.1 矩陣的定義及基本運算 96
3.1.1 矩陣的定義 96
3.1.2 矩陣的基本運算 98
3.1.3 矩陣乘積的行列式與秩 106
3.2 方陣的逆 110
3.2.1 方陣逆的定義 110
3.2.2 可逆矩陣的判定與計算 112
3.2.3 矩陣方程 118
3.3 初等矩陣 122
3.3.1 初等矩陣的定義 122
3.3.2 初等矩陣的應用 124
3.4 分塊矩陣 131
3.4.1 分塊矩陣的運算 131
3.4.2 分塊矩陣的初等變換 134
3.4.3 分塊矩陣的秩 135
第4章 矩陣特征值與相似對角化 139
4.1 矩陣特征值與特征向量的定義 139
4.1.1 特征值與特征向量的概念 139
4.1.2 特征值的性質(zhì) 142
4.2 矩陣相似對角化 146
4.2.1 相似矩陣 146
4.2.2 矩陣相似對角化 149
4.3 正交矩陣與實對稱矩陣相似對角化 154
4.3.1 正交矩陣 154
4.3.2 實對稱矩陣的對角化 156
4.4 應用舉例 159
第5章 二次型 165
5.1 二次型的定義與合同矩陣 165
5.1.1 二次型的定義 165
5.1.2 合同矩陣 167
5.1.3 標準二次型 168
5.2 二次型的化簡 171
5.2.1 配方法 171
5.2.2 正交變換法 172
*5.2.3 初等變換法 175
5.3 唯一性與慣性定理 177
5.3.1 唯一性 178
5.3.2 二次型幾何應用 181
5.4 正定二次型與非正定二次型 184
*5.5 雙線性函數(shù) 190
第6章 多項式 194
6.1 一元多項式及其基本運算 194
6.1.1 數(shù)域 194
6.1.2 整數(shù)的因子分解 195
6.1.3 一元多項式的定義 196
6.1.4 一元多項式的基本運算 197
6.1.5 多項式的整除 198
6.2 最大公因式 203
6.3 因式分解 209
6.3.1 基本概念 209
6.3.2 重因式 211
6.4 一元n次代數(shù)方程 214
6.4.1 代數(shù)方程的基本定理 214
6.4.2 復數(shù)域上代數(shù)方程 216
6.4.3 一元3次代數(shù)方程的根和4次代數(shù)方程的根 218
6.5 實系數(shù)多項式和有理系數(shù)多項式 220
6.5.1 實系數(shù)多項式 220
6.5.2 有理系數(shù)多項式 221
*6.6 對稱多項式 225
第7章 線性空間 230
7.1 線性空間與子空間的定義及性質(zhì) 230
7.1.1 引言 230
7.1.2 線性空間的定義與性質(zhì) 231
7.1.3 線性空間的基本屬性 233
7.1.4 線性空間的基本概念 233
7.1.5 子空間 235
7.2 線性空間的基與維數(shù) 237
7.2.1 線性空間的維數(shù)與基 238
7.2.2 線性空間的基變換與向量的坐標 241
7.3 子空間的交與和運算 247
7.3.1 子空間的交與和 247
7.3.2 子空間的直和 251
7.4 線性空間的同構(gòu) 255
7.4.1 映射 255
7.4.2 線性空間的同構(gòu) 258
*7.5 線性函數(shù)與對偶空間 262
第8章 線性變換 267
8.1 線性變換的定義及運算 267
8.1.1 線性變換的定義 267
8.1.2 線性變換的運算 268
8.2 線性變換的矩陣 270
8.3 線性變換的特征值與特征向量 277
8.3.1 線性變換特征值與特征向量的定義 277
8.3.2 具有對角矩陣的線性變換 278
8.4 線性變換的值域與核 282
8.5 不變子空間 287
8.6 Jordan標準形 294
8.6.1 Jordan矩陣 294
*8.6.2 冪零變換的Jordan標準形 296
*8.7 最小多項式 298
第9章 矩陣的相似標準形 302
9.1 多項式矩陣及其初等變換 302
9.1.1 多項式矩陣的定義 302
9.1.2 多項式矩陣的初等變換 303
9.2 行列式因子 309
9.3 矩陣相似的條件 313
9.4 初等因子與Jordan標準形 315
9.4.1 初等因子 316
9.4.2 初等因子確定Jordan標準形 319
*9.5 矩陣函數(shù)簡介 324
第10章 Euclid空間 329
10.1 Euclid空間的定義與性質(zhì) 329
10.2 標準正交基 334
10.3 Euclid空間上的正交變換 339
10.4 正交補空間 341
*10.5 最小二乘法 345
*10.6 酉空間 348
部分習題參考答案或提示 352
參考文獻 374