微積分之美

第1章 函數(shù) 極限 連續(xù) 1
§1．1 函數(shù)：微積分的研究對象 1
1．1．1 懸鏈線 2
1．1．2 函數(shù)概念及其演變 3
1．1．3 函數(shù)的圖象 4
1．1．4 黎曼猜想 5
1．1．5 問題探究：函數(shù)之美 6
1．1．6 e是所有數(shù)的老師 9
§1．2 數(shù)列的極限：微積分的奠基石 11
1．2．1 曲邊梯形的面積 12
1．2．2 割圓人間細，方蓋宇宙精 12
1．2．3 極限的定性和定量描述 14
1．2．4 問題探究：美是一切事物生成和發(fā)展的本質特征 18
§1．3 函數(shù)極限：微積分學的研究工具 22
1．3．1 連續(xù)復利與“e” 23
1．3．2 函數(shù)極限 25
1．3．3 兩個重要極限 26
1．3．4 問題探究：極限之美 27
§1．4 無窮小量與無窮大量：無窮是數(shù)學的靈魂 30
1．4．1 無窮小量與無窮大量 31
1．4．2 極限的四則運算 32
1．4．3 漸進線的定義 33
1．4．4 無窮小量的比較 34
1．4．5 問題探索：整體之美 35
1．4．6 無窮的文學意境 36
§1．5 連續(xù)函數(shù)：連續(xù)的本質是極限 38
1．5．1 連續(xù)函數(shù)的概念 38
1．5．2 連續(xù)函數(shù)的局部形態(tài) 40
1．5．3 連續(xù)函數(shù)整體性態(tài) 41
1．5．4 問題探究：以美啟智 43
第2章 導數(shù)與微分 45
§2．1 導數(shù)與微分：心靈思考入微的思想顯微鏡 45
2．1．1 數(shù)學的抽象性使它具有高度的概括性 46
2．1．2 導數(shù)思想：無窮小之比 47
2．1．3 導數(shù)與微分：差商的極限 47
2．1．4 微分的應用：近似計算 51
2．1．5 問題探究：美在運動 52
§2．2 微分法則：以少為美 55
2．2．1 求導復習 55
2．2．2 微分的四則法則 56
2．2．3 復合函數(shù)求導法則 56
2．2．4 反函數(shù)的導數(shù) 57
2．2．5 高階導數(shù) 58
2．2．6 萊布尼茨公式 58
2．2．7 隱函數(shù)的導數(shù) 59
2．2．8 參數(shù)方程求導公式 59
2．2．9 數(shù)學符號的正確應用 60
2．2．10 相關變化率 60
2．2．11 問題探索：運動之美 61
第3章 微分中值定理及其應用 64
§3．1 微分中值定理：局部與整體溝通的橋梁 64
3．1．1 羅爾中值定理 65
3．1．2 拉格朗日定理 66
3．1．3 柯西中值定理 68
3．1．4 人物簡介 69
3．1．5 問題探究：化歸之美 70
§3．2 洛必達法則和泰勒公式：柯西中值定理的應用 72
3．2．1 泰勒公式：通過無限認識有限 72
3．2．2 洛必達法則 74
3．2．3 問題探究：最美公式 76
§3．3 微分學的應用：運籌帷幄中，決勝千里外 83
3．3．1 函數(shù)單調性、極值與最值：最小作用量原理 84
3．3．2 曲線的凹凸性及函數(shù)作圖：一副圖象勝過千言萬語 87
3．3．3 問題探究：美就是真 90
第4章 不定積分 97
§4．1 不定積分：尋找原函數(shù) 97
4．1．1 不定積分的物理意義 97
4．1．2 不定積分 98
4．1．3 問題探究：進化之美 99
§4．2 積分法：化歸有理 100
4．2．1 換元積分法 101
4．2．2 分部積分法 103
4．2．3 有理分式的積分 104
4．2．4 萬能代換求三角有理函數(shù)積分 107
4．2．5 問題探究：奇異之美 107
第5章 定積分 109
§5．1 定積分：通過局部把握整體 109
5．1．1 曲邊梯形的面積 110
5．1．2 定積分的概念 111
5．1．3 定積分的性質 112
5．1．4 定積分思想的人文價值 114
5．1．5 問題探究：對稱之美 115
§5．2 微積分基本定理：局部和整體的完美結合 118
5．2．1 微積分基本定理的物理意義 118
5．2．2 微積分基本定理及其應用 119
5．2．3 積分變上限函數(shù) 121
5．2．4 問題探究：變換之美 122
5．2．5 自然科學家的偶像和樣樣皆通的大師 126
5．2．6 微積分傳入中國之簡史 129
5．2．7 簡潔美的范例：廣義斯托克斯公式 129
5．2．8 有限與無限 130
5．2．9 微積分之歌 130
附錄A 數(shù)學學習方法 134
附錄B 有限域Chebyshev公鑰密碼算法 136
附錄C 人名索引 137
后記 143
參考資料 144