數學分析講義（第二卷）

目錄
前言
第6章 拓撲空間及映射的極限與連續(xù)性 279
6.1 拓撲空間 279
6.1.1 拓撲空間的基本概念 279
6.1.2 度量空間 284
6.1.3 有限維線性賦范空間(歐氏空間Rm) 294
6.2 拓撲空間的連續(xù)映射 299
6.2.1 映射的極限 299
6.2.2 連續(xù)映射 300
6.2.3 壓縮映像原理 304
6.2.4 多變量函數和它的極限與連續(xù)性 308
第7章 多變量函數微分學 318
7.1 多變量函數的微分 318
7.1.1 函數在一點的微分 318
7.1.2 實值函數的偏導數與微分 319
7.1.3 映射的微分的坐標表示.雅可比矩陣 322
7.1.4 函數在一點的連續(xù)性、偏導數和可微性 322
7.2 微分法的基本定律 323
7.2.1 微分法運算的線性性質 323
7.2.2 復合映射的微分法 325
7.2.3 逆映射的微分法 329
7.3 多變量實值函數微分學的基本事實 332
7.3.1 中值定理 332
7.3.2 多變量函數可微性的充分條件 334
7.3.3 高階偏導數 335
7.3.4 泰勒公式 338
7.3.5 多變量函數的極值 339
7.3.6 與多變量函數有關的某些幾何形象 344
7.4 隱函數定理 349
7.5 隱函數定理的一些推論 357
7.5.1 反函數定理 357
7.5.2 局部地把光滑映射化為典則形式 361
7.5.3 函數的相關性 365
7.5.4 局部地分解微分同胚為最簡形式的復合 367
7.5.5 莫爾斯引理 369
7.6 Rn中的曲面和條件極值理論 373
7.6.1 Rn中的k維曲面 373
7.6.2 切空間 377
7.6.3 條件極值 381
第8章 重積分 392
8.1 n維區(qū)間上的黎曼積分 392
8.1.1 積分定義 392
8.1.2 黎曼可積的勒貝格準則 394
8.1.3 達布準則 398
8.2 集合上的積分 400
8.2.1 (有界)集上的積分 400
8.2.2 容許集 401
8.2.3 容許集的測度(體積) 402
8.3 積分的一般性質 403
8.3.1 積分的線性性質 403
8.3.2 積分的可加性 404
8.3.3 積分的估計 405
8.4 化重積分為累次積分 407
8.4.1 富比尼定理 407
8.4.2 一些推論 409
8.5 重積分中的變量替換 414
8.5.1 變量替換公式 414
8.5.2 預備知識 414
8.5.3 積分變量替換公式的證明 419
8.5.4 重積分變量替換公式的推廣 420
8.6 反常重積分 424
8.6.1 基本定義 424
8.6.2 反常積分——控制收斂判別法 427
8.6.3 反常積分——變量替換 429
第9章 流形(曲面)及微分形式 434
9.1 線性代數準備知識 434
9.1.1 形式代數 434
9.1.2 斜對稱形式代數 435
9.1.3 線性空間中的線性映射及共軛空間中的共軛映射 438
9.2 流形 440
9.2.1 流形的定義 440
9.2.2 光滑(無邊)曲面 441
9.2.3 帶邊流形 445
9.2.4 光滑流形與光滑映射 446
9.2.5 流形及其邊界的定向 449
9.2.6 單位分解 454
9.2.7 流形在其一點的切空間和余切空間 457
9.3 流形上的微分形式 464
9.3.1 微分形式 464
9.3.2 外微分 467
第10章 流形(曲面)上微分形式的積分 475
10.1 微分形式在流形上的積分 475
10.1.1 形式在流形上的積分 475
10.1.2 斯托克斯公式 476
10.2 曲線積分與曲面積分 478
10.2.1 曲面上微分形式的積分 478
10.2.2 體積形式 484
10.2.3 在笛卡兒坐標下體積形式的表示 485
10.2.4 參數曲面的面積 487
10.2.5 第一型與第二型積分 492
10.2.6 斯托克斯定理在曲面積分中的推論 493
10.3 流形上的閉形式與恰當形式 500
10.3.1 龐加萊定理 500
10.3.2 同調與上同調 502
第11章 向量分析與場論初步 507
11.1 向量分析的微分運算 507
11.1.1 數量場與向量場 507
11.1.2 R3中的向量場與形式 507
11.1.3 微分算子grad，rot，div及▽ 509
11.1.4 向量分析的一些微分公式 511
11.1.5 曲線坐標下的向量運算 513
11.2 場論的積分公式 522
11.2.1 用向量表示的經典積分公式 522
11.2.2 一些進一步的積分公式 525
11.3 勢場 528
11.3.1 向量場的勢 528
11.3.2 勢場的必要條件 529
11.3.3 向量場具有勢的判別準則 530
11.3.4 區(qū)域的拓撲結構與勢 532
11.3.5 向量勢、恰當形式與閉形式 534
11.4 應用例子 537
11.4.1 熱傳導方程 537
11.4.2 連續(xù)性方程 539
11.4.3 連續(xù)介質動力學基本方程 540
11.4.4 波動方程 542