微分幾何簡明教程

目錄

序

前言

第1章 曲線論的基本概念 1

1.1 正則參數(shù)化的曲線 1

1.2 弧長參數(shù) 1

1.3 Frenet標(biāo)架的運(yùn)動(dòng)方程、曲率和撓率 2

第2章 曲線論基本定理 8

2.1 兩個(gè)例子 8

2.2 曲率、撓率與曲線形狀 9

第3章 平面曲線的相對(duì)曲率 12

3.1 相對(duì)曲率 12

3.2 相對(duì)曲率與切向輻角 13

第4章 平面簡單閉曲線 16

4.1 Hopf旋轉(zhuǎn)數(shù)定理 17

4.2 相對(duì)曲率的駐點(diǎn) 21

第5章 曲面論的基本概念 24

5.1 正則參數(shù)化的曲面 24

5.2 標(biāo)架運(yùn)動(dòng)方程 25

5.3 曲面論的基本幾何量 27

5.4 關(guān)于剛體運(yùn)動(dòng)的不變性 31

5.5 切向量場與參數(shù)變換 31

5.5.1 線性獨(dú)立的向量場與參數(shù)變換 31

5.5.2 曲率線參數(shù) 33

5.6 Gauss曲率與曲面形狀 34

5.7 Gauss曲率的內(nèi)蘊(yùn)表示 35

5.8 平均曲率公式 37

第6章 幾類特殊曲面 39

6.1 函數(shù)的圖 39

6.2 旋轉(zhuǎn)曲面 40

6.3 直紋面 41

6.3.1 直紋面的Gauss曲率 41

6.3.2 可展曲面 42

6.3.3 沒有臍點(diǎn)的可展曲面 42

6.4 全臍點(diǎn)曲面 44

6.5 常Gauss曲率曲面的例子 44

6.6 極小曲面 45

6.6.1 平均曲率與面積泛函 45

6.6.2 懸鏈面 46

6.6.3 極小圖 47

6.7 管狀曲面 49

第7章 曲面上的曲線 51

7.1 測地曲率和測地?fù)下?51

7.1.1 標(biāo)架運(yùn)動(dòng)方程 51

7.1.2 正則參數(shù)化曲線的測地曲率和測地?fù)下?53

7.1.3 測地曲率、測地?fù)下逝c曲率、撓率的關(guān)系 54

7.2 協(xié)變導(dǎo)數(shù)與平行移動(dòng) 55

7.2.1 協(xié)變導(dǎo)數(shù) 55

7.2.2 協(xié)變導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì) 56

7.2.3 測地線 56

7.2.4 平行移動(dòng) 57

7.3 局部Gauss-Bonnet公式 59

7.4 有孤立奇點(diǎn)的向量場 61

7.4.1 向量場在一點(diǎn)處的指標(biāo) 61

7.4.2 指標(biāo)的積分公式 63

第8章 兩類特殊參數(shù)化 65

8.1 測地線方程組 65

8.2 一點(diǎn)規(guī)范化的參數(shù)變換 66

8.3 極坐標(biāo)變換 67

8.4 共形參數(shù)化 69

8.4.1 共形參數(shù)變換 69

8.4.2 局部存在性 70

8.4.3 球極投影 71

第9章 曲面論基本定理 72

9.1 第一基本型、第二基本型的相容性條件 72

9.1.1 標(biāo)架運(yùn)動(dòng)方程的相容性條件 72

9.1.2 Gauss方程 73

9.1.3 Codazzi方程 74

9.1.4 Gauss方程的一個(gè)應(yīng)用 75

9.2 曲面論基本定理的證明 76

第10章 極小曲面 81

10.1 極小圖 81

10.1.1 可積條件 81

10.1.2 Levy變換 82

10.1.3 極小曲面的局部共形參數(shù)化 83

10.1.4 Bernstein定理 84

10.2 極小曲面與復(fù)分析 85

10.2.1 Weierstrass數(shù)據(jù) 86

10.2.2 共形參數(shù)化曲面的Weierstrass數(shù)據(jù) 86

10.2.3 Weierstrass數(shù)據(jù)的亞純函數(shù)表示 87

10.2.4 Weierstrass表示 88

第11章 曲面的整體描述 91

11.1 R3中的曲面 91

11.2 R3中的可定向曲面 92

11.3 共形坐標(biāo)覆蓋 94

11.4 曲面的幾何量 95

11.5 球面剛性定理 96

11.6 整體Gauss-Bonnet公式 97

11.6.1 三角剖分與歐拉數(shù) 97

11.6.2 虧格與歐拉數(shù) 99

11.6.3 整體Gauss-Bonnet公式的證明 100

11.6.4 向量場的指標(biāo)公式 102

11.7 亞純微分 103

11.8 協(xié)變導(dǎo)數(shù)和指數(shù)映射 105

11.8.1 協(xié)變導(dǎo)數(shù) 105

11.8.2 測地線 105

第12章 內(nèi)蘊(yùn)距離與三角剖分 107

12.1 內(nèi)蘊(yùn)距離 107

12.2 最短測地線 108

12.3 強(qiáng)凸集 110

12.4 Radó定理的微分幾何證明 113

參考文獻(xiàn) 116

索引 117