高等數(shù)學競賽題解析教程（2022）

專題1 極限與連續(xù)
1.1 基本概念與內(nèi)容提要
1.1.1 一元函數(shù)基本概念
1.1.2 數(shù)列的極限
1.1.3 函數(shù)的極限
1.1.4 證明數(shù)列或函數(shù)極限存在的方法
1.1.5 無窮小量
1.1.6 無窮大量
1.1.7 求數(shù)列或函數(shù)的極限的方法
1.1.8 函數(shù)的連續(xù)性
1.2 競賽題與精選題解析
1.2.1 求函數(shù)的表達式(例1.1-1.3)
1.2.2 利用極限的性質(zhì)與四則運算求極限(例1.4-1.14)
1.2.3 利用夾逼準則與單調(diào)有界準則求極限(例1.15-1.19)
1.2.4 利用重要極限與等價無窮小替換求極限(例1.20-1.25)
1.2.5 無窮小比較與無窮大比較(例1.26-1.27)
1.2.6 連續(xù)性與間斷點(例1.28-1.30)
1.2.7 利用介值定理的證明題(例1.31-1.35)
練習題一
專題2 一元函數(shù)微分學
2.1 基本概念與內(nèi)容提要
2.1.1 導數(shù)的定義
2.1.2 左、右導數(shù)的定義
2.1.3 微分概念
2.1.4 基本初等函數(shù)的導數(shù)公式
2.1.5 求導法則
2.1.6 高階導數(shù)
2.1.7 微分中值定理
2.1.8 泰勒公式與馬克勞林公式
2.1.9 洛必達法則
2.1.10 導數(shù)在幾何上的應用
2.2 競賽題與精選題解析
2.2.1 利用導數(shù)的定義解題(例2.1-2.6)
2.2.2 利用求導法則解題(例2.7-2.9)
2.2.3 求高階導數(shù)(例2.10-2.19)
2.2.4 與微分中值定理有關的證明題(例2.20-2.41)
2.2.5 馬克勞林公式與泰勒公式的應用(例2.42-2.60)
2.2.6 利用洛必達法則求極限(例2.6l-2.68)
2.2.7 與導數(shù)有關的不等式的證明(例2.69-2.79)
2.2.8 導數(shù)的應用(例2.80-2.91)
練習題二
專題3 一元函數(shù)積分學
3.1 基本概念與內(nèi)容提要
3.1.1 不定積分基本概念
3.1.2 基本積分公式
3.1.3 不定積分的計算
3.1.4 定積分基本概念
3.1.5 定積分中值定理
3.1.6 變限的定積分
3.1.7 定積分的計算
3.1.8 奇偶函數(shù)與周期函數(shù)定積分的性質(zhì)
3.1.9 定積分在幾何與物理上的應用
3.1.10 反常積分
3.2 競賽題與精選題解析
3.2.1 求不定積分(例3.1-3.16)
3.2.2 利用定積分的定義與性質(zhì)求極限(例3.17-3.23)
3.2.3 應用積分中值定理解題(例3.24-3.25)
3.2.4 變限的定積分的應用(例3.26-3.34)
3.2.5 定積分的計算(例3.35-3.54)
3.2.6 積分不等式的證明(例3.55-3.75)
3.2.7 積分等式的證明(例3.76-3.80)
3.2.8 定積分的應用(例3.81-3.91)
3.2.9 反常積分(例3.92-3.98)
練習題三
專題4 多元函數(shù)微分學
4.1 基本概念與內(nèi)容提要
4.1.1 二元函數(shù)的極限與連續(xù)性
4.1.2 偏導數(shù)與全微分
4.1.3 多元復合函數(shù)與隱函數(shù)的偏導數(shù)
4.1.4 方向?qū)?shù)
4.1.5 高階偏導數(shù)
4.1.6 二元函數(shù)的極值
4.1.7 條件極值
4.1.8 多元函數(shù)的最值
4.2 競賽題與精選題解析
4.2.1 求二元函數(shù)的極限(例4.1-4.2)
4.2.2 二元函數(shù)的連續(xù)性、可偏導性與可微性(例4.3-4.5)
4.2.3 求多元復合函數(shù)與隱函數(shù)的偏導數(shù)(例4.6-4.16)
4.2.4 方向?qū)?shù)(例4.17-4.19)
4.2.5 求高階偏導數(shù)(例4.20-4.27)
4.2.6 求二元函數(shù)的極值(例4.28-4.31)
4.2.7 求條件極值(例4.32-4.35)
4.2.8 求多元函數(shù)在空間區(qū)域上的最值(例4.36-4.38)
練習題四
專題5 二重積分與三重積分
5.1 基本概念與內(nèi)容提要
5.1.1 二重積分基本概念
5.1.2 二重積分的計算
5.1.3 交換二次積分的次序
5.1.4 三重積分基本概念
5.1.5 三重積分的計算
5.1.6 重積分的應用
5.1.7 反常重積分
5.2 競賽題與精選題解析
5.2.1 二重積分與二次積分的計算(例5.1-5.14)
5.2.2 交換二次積分的次序(例5.15-5.19)
5.2.3 三重積分的計算(例5.20-5.25)
5.2.4 與重積分有關的不等式的證明(例5.26-5.31)
5.2.5 重積分的應用題(例5.32-5.35)
5.2.6 反常重積分的計算(例5.36-5.38)
練習題五
專題6 曲線積分與曲面積分
6.1 基本概念與內(nèi)容提要
6.1.1 曲線積分基本概念與計算
6.1.2 格林公式
6.1.3 曲面積分基本概念與計算
6.1.4 斯托克斯公式
6.1.5 高斯公式
6.1.6 梯度、散度與旋度
6.2 競賽題與精選題解析
6.2.1 曲線積分的計算(例6.1-6.4)
6.2.2 應用格林公式解題(例6.5-6.16)
6.2.3 曲面積分的計算(例6.17-6.22)
6.2.4 應用斯托克斯公式解題(例6.23-6.24)
6.2.5 應用高斯公式解題(例6.25-6.35)
6.2.6 線面積分的應用題(例6.36-6.39)
練習題六
專題7 空間解析幾何
7.1 基本概念與內(nèi)容提要
7.1.1 向量的基本概念與向量的運算
7.1.2 空間的平面
7.1.3 空間的直線
7.1.4 空間的