變分法與常微分方程邊值問題

目錄　
《現(xiàn)代數(shù)學基礎叢書》序　
前言　
第1章　泛函分析基本概念與變分法要點　1　
1.1　空間與泛函　1　
1.1.1　空間　1　
1.1.2　泛函　7　
1.1.3　空間上的不等式　13　
1.1.4　泛函與臨界點　16　
1.2　變分法的產(chǎn)生　18　
1.3　變分法用于微分方程邊值問題的研究　22　
第2章　臨界點存在定理和指標理論　26　
2.1　臨界點存在定理　26　
2.1.1　(PS)-條件與極大極小原理　26　
2.1.2　極值點的存在性　35　
2.1.3　鞍點存在定理和山路引理　40　
2.2　指標理論和多個臨界點的存在定理　49　
2.2.1　指標理論與偽指標理論　49　
2.2.2　指標與臨界點個數(shù)的關(guān)系　52　
2.2.3　臨界點個數(shù)的具體估計　53　
2.2.4　Z2指標理論與偽Z2指標理論　55　
2.2.5　S1指標理論和偽S1指標理論　58　
2.3　Zn指標理論和偽Zn指標理論　61　
2.4　Sn指標理論和偽Sn指標理論　71　
2.5　周期軌道和臨界點　77　
2.5.1　幾何上不同的周期軌道　77　
2.5.2　指標的規(guī)范性　82　
2.5.3　Sn指標與幾何上不同的周期軌道個數(shù)　84　
2.5.4　Zn指標與幾何上不同的周期軌道個數(shù)　85
第3章　帶p-Laplace算子微分方程邊值問題　95　
3.1　帶p-Laplace算子微分方程單側(cè)多點邊值問題　96　
3.1.1　預備知識和主要結(jié)果　96　
3.1.2　若干引理　97　
3.1.3　定理3.1的證明　100　
3.1.4　定理3.1的示例　100　
3.2　帶p-Laplace算子微分方程雙側(cè)多點邊值問題　101　
3.2.1　泛函構(gòu)造及定理證明　102　
3.2.2　定理3.2的示例　104　
3.3　帶p-Laplace算子微分方程混合邊值問題　105　
3.3.1　問題和結(jié)論　105　
3.3.2　定理3.3的證明　106　
3.3.3　定理3.3的示例　110　
3.3.4　定理3.4的證明　111　
3.3.5　定理3.4的示例　118　
3.4　帶p-Laplace算子微分方程的Dirichlet邊值問題　119　
3.4.1　問題和結(jié)論　119　
3.4.2　邊值問題的轉(zhuǎn)換　120　
3.4.3　Fenchel變換和泛函的臨界點　122　
3.4.4　定理3.5的證明　129　
3.4.5　定理3.5的示例　131　
3.5　二階脈沖微分方程兩點邊值問題　131　
3.5.1　Sturm-Liouville邊值問題的特征函數(shù)系　132　
3.5.2　脈沖線性方程邊值問題　133　
3.5.3　脈沖非線性方程邊值問題　136　
3.5.4　非線性二階方程Sturm-Liouville邊值問題的正解　137　
第4章　偶數(shù)階時滯微分方程的周期軌道　142　
4.1　自伴線性算子和半線性方程　142　
4.1.1　自伴線性算子和半線性方程的概念　142　
4.1.2　周期函數(shù)空間上的兩類線性算子　143　
4.1.3　周期函數(shù)空間上的算子P和Ω　150　
4.1.4　Hilbert空間上的幾個極限　159　
4.1.5　整變量函數(shù)的上下界及算子的緊性　166　
4.1.6　算子的可逆性　167　
4.1.7　周期函數(shù)空間上的泛函　171
4.2　二階多滯量微分方程的周期軌道　172　
4.2.1　導言　172　
4.2.2　方程(4.32)的n+1-周期軌道　173　
4.2.3　方程(4.32)的n-周期軌道　188　
4.2.4　本節(jié)定理的示例　191　
4.3　2n階雙滯量微分方程的周期軌道　191　
4.3.1　同余映射　192　
4.3.2　方程(4.69)的周期軌道　194　
4.3.3　方程(4.70)的周期軌道　201　
4.3.4　定理4.11和定理4.14的示例　210　
4.4　非Kaplan-Yorke型2n-階多滯量微分方程的周期軌道(1)　212　
4.4.1　預備引理　214　
4.4.2　情況1中方程(4.121)的周期軌道　216　
4.4.3　情況2中方程(4.121)的周期軌道　225　
4.4.4　情況3中方程(4.121)的周期軌道　230　
4.4.5　定理4.16、定理4.17和定理4.18的示例　235　
4.5　非Kaplan-Yorke型2n-階多滯量微分方程的周期軌道(2)　239　
4.5.1　方程(4.201)的m+1-周期軌道　241　
4.5.2　方程(4.202)的2(2l+1)-周期軌道　250　
4.5.3　方程(4.203)的2l-周期軌道　257　
4.5.4　方程(4.204)的2l-周期軌道　266　
4.5.5　方程(4.205)的2l-周期軌道　274　
4.5.6　定理4.23的示例　285　
第5章　奇數(shù)階時滯微分方程的周期軌道　290　
5.1　反自伴算子和微分系統(tǒng)的分解　290　
5.1.1　反自伴線性算子和對稱向量　290　
5.1.2　對稱矩陣耦與歐氏空間RN的正交分解　292　
5.1.3　時滯微分系統(tǒng)的分解　296　
5.2　兩類奇數(shù)階多滯量時滯微分方程的周期軌道　300　
5.2.1　兩類奇數(shù)階多滯量微分方程的周期軌道　300　
5.2.2　方程(5.32)的4k-周期軌道　301　
5.2.3　方程(5.33)的4k-周期軌道　308　
5.2.4　本節(jié)示例　311　
5.3　一般情況下的奇數(shù)階多滯量微分方程　314　
5.3.1　對稱向量與反對稱陣　315
5.3.2　方程(5.61)的變分結(jié)構(gòu)及相關(guān)結(jié)論　319　
5.3.3　定理5.7的示例　327　
5.4　2k-1個滯量的微分系統(tǒng)周期軌道　329　
5.4.1　兩類奇數(shù)個滯量微分方程周期軌道的多重性　329　
5.4.2　相關(guān)定理的示例　357　
5.5　2k個滯量的微分系統(tǒng)周期軌道　364　
5.5.1　偶數(shù)個滯量微分系統(tǒng)周期軌道的多重性　364　
5.5.2　系統(tǒng)(5.190)周期軌道的多重性　365　
5.5.3　微分系統(tǒng)(5.191)的2k+1-周期軌道　391　
5.5.4　本節(jié)示例　413　
第6章　非自治微分系統(tǒng)的調(diào)和解　422　
6.1　周期函數(shù)空間上的Zn指標理論　422　
6.2　擴展的Fisher-Kolmogorov方程的周期邊值問題　425　
6.2.1　兩類擴展的Fisher-Kolmogorov方程　428　
6.2.2　邊值問題(6.22)的有解性和多解性　430　
6.2.3　邊值問題(6.23)的無窮多解性　433　
6.3　擴展的Fisher-Kolmogorov方程的同宿軌道　436　
6.4　非自治4階時滯微分方程的調(diào)和解(1)　441　
6.4.1　方程(6.40)的n+1-周期調(diào)和解　441　
6.4.2　方程(6.40)的s+1-周期調(diào)和解　456　
6.4.3　方程(6.40)調(diào)和解的示例　458　
6.5　非自治4階時滯微分方程的調(diào)和解(2)　459　
6.5.1　n=2k.1，k.1時方程(6.69)的調(diào)和解　460　
6.5.2　n=2k，k.1時方程(6.69)的調(diào)和解　470　
6.6　非自治多滯量時滯微分方程的調(diào)和解　478　
6.6.1　向量與矩陣　479　
6.6.2　向量a為對稱向量時方程(6.127)的調(diào)和解　487　
6.6.3　向量a為反號對稱向量時方程(6.127)的調(diào)和解　495　
6.6.4　本節(jié)定理的示例　501　
6.7　無窮多個調(diào)和解的存在性　506　
6.7.1　定理的證明　507　
6.7.2　定理的示例　515　
參考文獻　517　
后記　525　
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