數(shù)學所講座 2017

目錄
前言　
1　?？臻g的故事:形變和剛性　季理真　
1.1　簡介　1
1.2　主要的剛性和形變定理　4　
1.2.1　關于剛性的一些結果　4　
1.2.2　關于形變的一些結果　6　
1.2.3　我們?yōu)槭裁磿芯縿傂?　7　
1.2.4　我們?yōu)槭裁磿芯啃巫兒湍？臻g?　8　
1.2.5　剛性和形變之間的聯(lián)系　9　
1.2.6　這些是怎么開始的?共同的根源是什么?　10　
1.3　黎曼曲面的定義和相關歷史　10　
1.3.1　黎曼*初對?？臻g的定義　11　
1.3.2　抽象的黎曼曲面的形式定義　16　
1.4　緊黎曼曲面的?？臻g以及黎曼的數(shù)值方法　17　
1.4.1　黎曼給出的初始定義　18　
1.4.2　黎曼對模的計數(shù)　18　
1.4.3　黎曼為什么要用模這個名詞?　20　
1.5　黎曼模問題　22　
1.5.1　黎曼對維數(shù)的計算　22　
1.5.2　數(shù)值?！?4　
1.6　模空間在單值化定理中的第一個應用　25　
1.6.1　什么是單值化?　25　
1.6.2　克萊因和龐加萊對代數(shù)曲線的單值化　26　
1.6.3　赫爾維茨空間和塞維里簇　27　
1.6.4　布勞威爾和科比的工作:完善連續(xù)性方法　28　
1.6.5　弗里克空間　32　
1.7　托勒利定理、西格爾上半空間和數(shù)值?！?4　
1.7.1　黎曼曲面的周期　34　
1.7.2　西格爾上半空間和托勒利定理　36
1.7.3　數(shù)值?！?8　
1.8　泰希米勒關于模空間的工作:標記的黎曼曲面、泰希米勒空間、細?？臻g　38　
1.8.1　泰希米勒問了哪些問題?　39　
1.8.2　泰希米勒做了什么?　41　
1.8.3　泰希米勒為什么要研究?？臻g?　47　
1.9　泰希米勒理論　52　
1.9.1　韋伊在泰希米勒空間上的工作與猜想　52　
1.9.2　阿爾福斯和貝爾斯在泰希米勒空間上的工作　53　
1.9.3　格羅滕迪克在泰希米勒空間上的工作　55　
1.10　泰希米勒上的合適的復結構　58　
1.10.1　阿爾福斯、勞赫和貝爾斯定義的Tg上的復結構　58　
1.10.2　為什么阿爾福斯-貝爾斯-勞赫的復結構合理?　62　
1.10.3　為何周期映射是全純的很重要?　65　
1.10.4　?？臻g上的性質和評論　66　
1.10.5　細的和粗的?？臻g的定義　67　
1.10.6　阿爾福斯和貝爾斯的復結構是合適的　68　
1.11　代數(shù)曲線的?？臻g　69　
1.11.1　Mg作為一個代數(shù)簇　69　
1.11.2　幾何不變量理論和Mg進一步性質　71　
1.12　緊復流形的形變　73　
1.12.1　小平邦彥-斯潘塞的形變理論　73　
1.12.2　霍奇結構簇　78　
1.13　塞爾貝格在格上的工作與猜想　79　
1.13.1　塞爾貝格的工作和局部剛性　80　
1.13.2　塞爾貝格在算術性的猜想　82　
1.14　莫斯托關于局部對稱空間的強剛性　83　
1.14.1　強剛性和它的歷史　83　
1.14.2　莫斯托強剛性的證明　85　
1.15　復流形的剛性　86　
1.15.1　剛性的概念　86　
1.15.2　復射影空間的強剛性　86　
1.15.3　埃爾米特局部對稱空間的剛性　86　
1.15.4　剛性和算術性　87　
1.15.5　局部對稱埃爾米特空間的局部剛性和定義的域　88
1.16　馬爾古利斯超剛性和格的算術性　88　
1.16.1　超剛性　89　
1.16.2　超剛性的推論　90　
1.17　永不結束的故事　91　
參考文獻　97　
2　廣義相對論中的擬局部質量和等周曲面　史宇光
2.1　等周問題的歷史及若干影響　107　
2.2　各種曲率假設下的等周面積比較定理　108　
參考文獻　116　
3　法諾簇的代數(shù)K-穩(wěn)定性理論　許晨陽　
3.1　歷史簡介　119　
3.2　法諾簇的K-穩(wěn)定性理論　120　
3.3　法諾簇的K-?？臻g　122　
3.4　顯式例子　124　
3.4.1　|KX|Q的奇點不變量　124　
3.4.2　模空間方法　125　
3.4.3　未知情形　126　
參考文獻　126　
4　完全非線性偏微分方程及相關的幾何問題　關波
4.1　引言　130　
4.2　偏微分方程在幾何、分析中應用的例子　130　
4.2.1　等周不等式　131　
4.2.2　Alexandrov極大值原理　133　
4.2.3　Sobolev不等式和Monge-Ampère方程　134　
4.2.4　常平均曲率閉曲面和Alexandrov定理　136　
4.3　幾何問題中Monge-Ampère方程及其推廣　139　
4.3.1　Minkowski問題　140　
4.3.2　Alexandrov-Chern Minkowski問題　141　
4.3.3　Weyl等距嵌入問題　143　
4.3.4　Calabi猜想和復Monge-Ampère方程　145　
4.3.5　Mabuchi度量和Donaldson猜想　146　
4.4　黎曼流形上的一類完全非線性橢圓偏微分方程　148　
4.4.1　Dirichlet問題　149　
4.4.2　閉流形上的完全非線性方程　151　
參考文獻　151
5　Langlands綱領的近期進展　李文威　
5.1　引言　153　
5.2　自守形式　153　
5.2.1　起源:上半平面　153　
5.2.2　復環(huán)面的?？臻g　154　
5.2.3　一般理論　156　
5.3　表示理論的觀點　157　
5.3.1　過渡　157　
5.3.2　譜分解　158　
5.3.3　間奏:賦值和adèle環(huán)　159　
5.3.4　回到譜分解　160　
5.3.5　光滑表示　161　
5.4　Langlands綱領　162　
5.4.1　Langlands對偶群　162　
5.4.2　非分歧表示　162　
5.4.3　L-函數(shù)　163　
5.4.4　Langlands函子性　164　
5.4.5　Langlands對應　165　
5.4.6　幾何、算術與分析　166　
5.5　函數(shù)域情形:Weil的見解　167　
5.5.1　Dedekind-Kronecker-Weil的洞見　167　
5.5.2　撓子的?？臻g　168　
5.5.3　數(shù)域上的一種類比　169　
5.5.4　函數(shù)域上實現(xiàn)整體Langlands對應的思路　170　
5.6　Lafforgue工作的概述　171　
5.6.1　Hecke疊和shtuka　171　
5.6.2　上同調(diào)　172　
5.6.3　巡游算子或S-算子　173　
5.7　幾何Langlands綱領　174　
5.7.1　幾何化的線索　174　
5.7.2　范疇化　175　
5.8　量子Langlands綱領概述　175　
參考文獻　176　
6　幾何與表示掠影　付保華　
6.1　引子:正多面體　177
6.2　SL(2，C)中有限子群的表示　178　
6.3　克萊因奇點及其極小解消　181　
6.4　McKay對應及其發(fā)展　182　
6.5　冪零軌道　184　
6.6　Springer解消　185　
6.7　Springer對應　188　
6.8　McKay遇見Springer?　191　
參考文獻　192　
7　量子克隆　駱順龍
7.1　兩朵烏云　194　
7.2　機械觀之興衰　196　
7.3　量子克隆之前世　199　
7.4　量子克隆之今生　207　
7.5　量子信息　212　
7.6　若干課題　214　
參考文獻　220　
8　量子可積系統(tǒng)新進展——非對角Bethe Ansatz方法　楊文力
8.1　量子可積模型介紹　228　
8.2　非對角Bethe Ansatz方法　230　
8.3　拓撲自旋環(huán)　232　
8.3.1　構造Bethe態(tài)　236　
8.4　非平行邊界的自旋鏈　238　
8.4.1　非平行邊界的XXX自旋鏈　238　
8.4.2　非平行邊界的XXZ自旋鏈　243　
8.4.3　XXZ自旋鏈的熱力學極限和表面能　246　
8.5　總結和展望　248　
參考文獻　248