軸對稱問題有限元求解體系

目錄
前言
第1章 小位移變形彈性理論基本方程 1
1.1 應力、應變、位移、體積力、表面力 1
1.2 應變能和余能 2
1.2.1 應變能密度 2
1.2.2 余能密度 3
1.3 小位移變形彈性理論基本方程 3
1.3.1 平衡方程（力學方程） 4
1.3.2 應變-位移方程（幾何方程） 5
1.3.3 應力-應變關系（物理方程或本構(gòu)方程） 6
1.3.4 邊界條件 12
1.4 散度定理 13
1.5 小結(jié) 14
參考文獻 15
第2章 小位移變形彈性理論經(jīng)典變分原理及廣義變分原理 16
2.1 小位移變形彈性理論最小勢能（位能）原理 16
2.1.1 最小勢能原理及泛函約束條件 16
2.1.2 證明 17
2.2 最小余能原理 22
2.2.1 最小余能原理及泛函約束條件 22
2.2.2 證明 23
2.3 小位移變形彈性理論廣義變分原理 26
2.4 Hellinger-Reissner 廣義變分原理 27
2.4.1 Hellinger-Reissner變分原理泛函ΠHR (σ ，u) 的建立 27
2.4.2 Hellinger-Reissner 變分原理注意事項 30
2.5 (ε，u)雙變量廣義變分原理 31
2.5.1 （ε，u）雙變量廣義變分原理泛函ΠP2 (ε，u)的建立 31
2.5.2 P2 Π (ε ，u)變分原理的注意事項 34
2.6 這兩種廣義變分原理泛函之間的關系 35
2.7 Hu-Washizu廣義變分原理 37
2.7.1 Hu-Washizu變分原理泛函HW Π的建立 37
2.7.2 對Hu-Washizu廣義變分原理的論戰(zhàn) 39
2.8 小結(jié) 43
2.8.1 小位移變形彈性理論靜力問題 43
2.8.2 彈性理論常規(guī)變分原理之間的關系 45
參考文獻 48
第3章 根據(jù)最小勢能原理建立的軸對稱位移元（Ⅰ） 50
3.1 協(xié)調(diào)的假定位移有限元 50
3.1.1 變分原理 50
3.1.2 單元列式 51
3.2 有限元收斂準則 幾何各向同性 54
3.2.1 有限元單調(diào)收斂準則 54
3.2.2 非協(xié)調(diào)元的收斂條件 55
3.2.3 幾何各向同性 63
3.3 軸對稱問題 63
3.3.1 軸對稱問題的場變量 64
3.3.2 軸對稱問題基本方程 64
3.4 3 結(jié)點三角形軸對稱位移元（一）（元LDT） 66
3.4.1 位移場 u 66
3.4.2 元內(nèi)一點的應力及應變以結(jié)點位移表示 68
3.4.3 建立單元剛度陣 69
3.4.4 等效結(jié)點載荷 76
3.4.5 數(shù)值算例 76
3.4.6 三角形元應用推廣 82
3.5 3 結(jié)點三角形軸對稱位移元（二）（元LDTC） 91
3.5.1 基本列式 91
3.5.2 基本列式討論 95
3.5.3 算例 96
3.6 3 結(jié)點三角形軸對稱位移元（三） 98
3.6.1 單元建立 98
3.6.2 數(shù)值算例 101
3.7 4結(jié)點三角形軸對稱位移元 103
3.7.1 單元建立 103
3.7.2 數(shù)值算例 106
參考文獻 107
第4章 根據(jù)最小勢能原理建立的軸對稱位移元（Ⅱ） 110
4.1 多結(jié)點三角形協(xié)調(diào)軸對稱位移元的形函數(shù) 110
4.1.1 Lagrange定理 110
4.1.2 多種結(jié)點三角形軸對稱元的形函數(shù) 112
4.1.3 各種一維元 115
4.2 多結(jié)點四邊形協(xié)調(diào)軸對稱位移元的形函數(shù) 116
4.2.1 線性元 116
4.2.2 二次元 117
4.2.3 三次元 119
4.3 軸對稱等參位移元 120
4.3.1 軸對稱等參位移元 120
4.3.2 等參元的收斂性 122
4.3.3 等參元單元列式 126
4.3.4 數(shù)值算例 128
4.4 幾種軸對稱元數(shù)值比較 134
4.5 4結(jié)點非協(xié)調(diào)軸對稱位移元（一） 138
4.5.1 廣義協(xié)調(diào)元四邊形面積坐標 138
4.5.2 4結(jié)點四邊形廣義協(xié)調(diào)軸對稱元 140
4.6 4結(jié)點非協(xié)調(diào)軸對稱位移元（二） 144
4.6.1 建立單元初始位移 144
4.6.2 修正的非協(xié)調(diào)位移 146
4.6.3 數(shù)值算例 150
4.7 小結(jié) 154
參考文獻 156
第5章 根據(jù)修正的余能原理Π mc、Π(1)mc 及Hellinger-Reissner原理mR Π
建立的軸對稱有限元 158
5.1 修正的余能原理mc Π 及早期雜交應力元Ⅰ 158
5.1.1 最小余能原理 158
5.1.2 修正的余能原理 159
5.1.3 早期雜交應力元Ⅰ 161
5.2 Hellinger-Reissner原理及早期雜交應力元Ⅱ 163
5.2.1 變分泛函 163
5.2.2 有限元列式 164
5.2.3 幾點注意事項 166
5.3 早期雜交應力元小結(jié) 169
5.3.1 兩種早期雜交應力元 169
5.3.2 假定應力雜交模式小結(jié) 170
5.4 掃除附加的運動變形模式（掃除多余的零能模式） 170
5.4.1 附加運動變形模式 170
5.4.2 掃除附加運動變形模式 171
5.4.3 選擇單元應力場掃除零能模式的方法及實例 174
5.4.4 對單元穩(wěn)定所需最小應力參數(shù)（式（5.4.1））的意見 176
5.5 雜交應力軸對稱元 176
5.5.1 雜交應力軸對稱元列式 176
5.5.2 單元位于對稱軸上問題 179
5.6 一般四邊形4結(jié)點軸對稱雜交應力元 180
5.6.1 位移場u 181
5.6.2 假定應力場 182
5.6.3 數(shù)值算例 187
5.6.4 小結(jié) 196
5.6.5 鋼容器內(nèi)圓柱形固體火箭推進劑受力分析 197
5.7 一般四邊形8結(jié)點軸對稱雜交應力元 205
5.7.1 位移場u 206
5.7.2 假定應力場σ 206
5.7.3 數(shù)值算例 212
5.7.4 小結(jié) 222
5.8 應用雜交應力模式進行任意載荷下軸對稱構(gòu)件受力分析 223
5.8.1 有限元列式 223
5.8.2 建立雜交應力元 228
5.8.3 數(shù)值算例 230
5.8.4 小結(jié) 236
5.9 雜交-Trefftz有限元 236
5.9.1 變分泛函 237
5.9.2 有限元列式 242
5.9.3 修正的余能原理Πm(1c) (u，u)與Π的關系 244
5.10 4結(jié)點軸對稱雜交-Trefftz元 245
5.10.1 柱坐標表示的基本方程及邊界條件 245
5.10.2 4結(jié)點軸對稱雜交-Trefftz元 246
5.10.3 數(shù)值算例 248
5.11 小結(jié) 251
參考文獻 254
第6章 根據(jù)修正的Hellinger-Reissner原理ΠmR及雜交應力元理性列式所建立的軸對稱元（Ⅰ） 258
6.1 修正的Hellinger-Reissner原理（一） 258
6.1.1 Hellinger-Reissner原理的離散形式 258
6.1.2 修正的Hellinger-Reissner原理（一）ΠmR1 259
6.2 修正的Hellinger-Reissner原理（二）及修正的Hellinger-Reissner原理（三） 262
6.2.1 修正的Hellinger-Reissner原理（二） 262
6.2.2 修正的Hellinger-Reissner原理（三） 263
6.3 修正的Hellinger-Reissner原理及所建立的雜交應力元 264
6.3.1 變分原理 264
6.3.2 有限元列式 265
6.3.3 這種有限元列式的討論 266
6.4 非協(xié)調(diào)雜交應力元理性列式Ⅰ—平衡法 266
6.4.1 非協(xié)調(diào)雜交應力元理性列式Ⅰ—平衡法 267
6.4.2 用理性列式Ⅰ—平衡法建立雜交應力元的特點 269
6.5 用理性列式Ⅰ—平衡法建立4結(jié)點軸對稱元 270
6.5.1 利用理性平衡方法Ⅰ，建立一般形狀4結(jié)點軸對稱元 270
6.5.2 數(shù)值算例 274
6.6 非協(xié)調(diào)雜交應力元的理性列式—修正的平衡法Ⅰm 279
6.7 非協(xié)調(diào)雜交應力元的理性列式Ⅱ—正交法 280
6.8 非協(xié)調(diào)雜交應力元的理性列式Ⅲ—表面虛功法 282
6.8.1 變分泛函及收斂條件 282
6.8.2 理性方法Ⅲ—表面虛功法 283
6.8.3 非協(xié)調(diào)雜交應力元三種理性列式說明 286
6.9 利用三種理性方法建立4結(jié)點軸對稱元 287
6.9.1 建立單元 287
6.9.2 數(shù)值算例 289
6.10 小結(jié) 297
參考文獻 299
第7章 根據(jù)修正的Hellinger-Reissner原理ΠmR2及修正的兩變量變分原理Πp2建立的軸對稱元（Ⅱ） 302
7.1 利用另一種表面虛功法建立軸對稱元 302
7.1.1 變分泛函 302
7.1.2 單元建立 304
7.1.3 Dong及Teixeira de Freitas建立的4結(jié)點軸對稱非協(xié)調(diào)雜交應力元 305
7.1.4 4結(jié)點非協(xié)調(diào)軸對稱元LA1、HA1及FA1 308
7.2 軸對稱元中偽剪應力的幾點說明 318
7.2.1 矩形網(wǎng)格下偽剪切現(xiàn)象產(chǎn)生的原因及消除 318
7.2.2 歪斜網(wǎng)格下偽剪應力的抑制 320
7.3 雜交應力扭轉(zhuǎn)元 320
7.3.1 應力約束方程和單元剛矩陣 320
7.3.2 4結(jié)點一般形狀雜交應力扭轉(zhuǎn)元 322
7.3.3 數(shù)值算例 324
7.4 修正的(ε，u)雙變量變分原理Πmp2及根據(jù)Πmp2建立的軸對稱元 328
7.4.1 修正的(ε，u)雙變量變分原理 328
7.4.2 根據(jù)2mp2 Π 進行有限元列式 330
7.4.3 利用修正的兩變 量變分原理Π2mp2進行單元列式 331
7.4.4 建立4結(jié)點軸對稱元 331
7.5 用罰平衡法建立軸對稱元 336
7.5.1 罰函數(shù)法 336
7.5.2 罰平衡法 337
7.5.3 用罰平衡法建立4結(jié)點軸對稱元 338
7.6 具有轉(zhuǎn)動自由度的4結(jié)點軸對稱元 340
7.6.1 具有轉(zhuǎn)動自由度的4結(jié)點軸對稱元 340
7.6.2 數(shù)值算例 348
7.7 小結(jié) 355
參考文獻 357
第8章 根據(jù)Hu-Washizu原理Π HW建立的軸對稱有限元模式 361
8.1 根據(jù)Hu-Washizu原理Π HW建立的4結(jié)點精化雜交應力軸對稱元（refined hybrid stress axisymmetric element） 361
8.1.1 Hu-Washizu原理HW Π 361
8.1.2 精化雜交應力軸對稱元 361
8.2 根據(jù)最小勢能原理建立軸對稱四邊形非協(xié)調(diào)位移元 375