高維統(tǒng)計學(xué)：非漸近視角

本書贊譽
譯者序
致謝
第1章　簡介1
　1.1　經(jīng)典理論和高維理論1
　1.2　高維會產(chǎn)生什么問題2
　　1.2.1　線性判別分析2
　　1.2.2　協(xié)方差估計4
　　1.2.3　非參數(shù)回歸6
　1.3　高維中什么能幫助我們8
　　1.3.1　向量的稀疏性8
　　1.3.2　協(xié)方差矩陣中的結(jié)構(gòu)10
　　1.3.3　回歸形式的結(jié)構(gòu)11
　1.4　什么是非漸近的觀點12
　1.5　全書概述13
　　1.5.1　各章內(nèi)容13
　　1.5.2　閱讀背景要求14
　　1.5.3　教學(xué)建議和流程圖15
　1.6　參考文獻和背景16
第2章　基本尾部概率界和集中不等式18
　2.1　經(jīng)典的界18
　　2.1.1　從馬爾可夫不等式到Chernoff界18
　　2.1.2　次高斯隨機變量和Hoeffding界19
　　2.1.3　次指數(shù)隨機變量和Bernstein界22
　　2.1.4　一些單邊結(jié)果26
　2.2　基于鞅的方法28
　　2.2.1　背景28
　　2.2.2　鞅差序列的集中度界30
　2.3　高斯隨機變量的Lipschitz函數(shù)35
　2.4　附錄A：次高斯隨機變量的等價性39
　2.5　附錄B：次指數(shù)隨機變量的等價性42
　2.6　參考文獻和背景43
　2.7　習(xí)題44
第3章　測度集中度51
　3.1　基于熵技巧的集中度51
　　3.1.1　熵及其相關(guān)性質(zhì)51
　　3.1.2　Herbst方法及其延伸52
　　3.1.3　可分凸函數(shù)和熵方法54
　　3.1.4　張量化和可分凸函數(shù)56
　3.2　集中度的幾何觀點58
　　3.2.1　集中度函數(shù)59
　　3.2.2　與Lipschitz函數(shù)的聯(lián)系60
　　3.2.3　從幾何到集中度63
　3.3　Wasserstein距離和信息不等式66
　　3.3.1　Wasserstein距離66
　　3.3.2　傳輸成本和集中不等式67
　　3.3.3　傳輸成本的張量化70
　　3.3.4　馬爾可夫鏈的傳輸成本不等式71
　　3.3.5　非對稱耦合成本72
　3.4　經(jīng)驗過程的尾部概率界75
　　3.4.1　一個泛函Hoeffding不等式75
　　3.4.2　一個泛函Bernstein不等式77
　3.5　參考文獻和背景79
　3.6　習(xí)題80
第4章　一致大數(shù)定律85
　4.1　動機85
　　4.1.1　累積分布函數(shù)的一致收斂85
　　4.1.2　更一般函數(shù)類的一致定律87
　4.2　基于Rademacher復(fù)雜度的一致定律90
　4.3　Rademacher復(fù)雜度的上界94
　　4.3.1　多項式識別的函數(shù)類94
　　4.3.2　Vapnik-Chervonenkis維數(shù)96
　　4.3.3　VC維數(shù)的控制99
　4.4　參考文獻和背景100
　4.5　習(xí)題101
第5章　度量熵及其用途104
　5.1　覆蓋和填裝104
　5.2　高斯復(fù)雜度和Rademacher復(fù)雜度113
　5.3　度量熵和次高斯過程115
　　5.3.1　一步離散化的上確界116
　　5.3.2　離散化界的例子117
　　5.3.3　鏈方法和Dudley熵積分119
　5.4　一些高斯比較不等式123
　　5.4.1　一般的比較不等式結(jié)果123
　　5.4.2　Slepian和Sudakov-Fernique不等式125
　　5.4.3　高斯收縮不等式126
　5.5　Sudakov下界127
　5.6　鏈方法和Orlicz過程128
　5.7　參考文獻和背景131
　5.8　習(xí)題132
第6章　隨機矩陣和協(xié)方差估計136
　6.1　預(yù)備知識136
　　6.1.1　符號和基本結(jié)果136
　　6.1.2　協(xié)方差矩陣估計問題137
　6.2　Wishart矩陣及其性質(zhì)138
　6.3　次高斯總體的協(xié)方差矩陣141
　6.4　一般矩陣的界144
　　6.4.1　矩陣分析背景知識144
　　6.4.2　矩陣的尾部條件145
　　6.4.3　矩陣Chernoff方法和獨立分解147
　　6.4.4　隨機矩陣的上尾部概率界149
　　6.4.5　協(xié)方差矩陣的結(jié)果153
　6.5　帶結(jié)構(gòu)的協(xié)方差矩陣的界154
　　6.5.1　未知稀疏與截斷155
　　6.5.2　漸近稀疏157
　6.6　附錄：定理6.1的證明159
　6.7　參考文獻和背景161
　6.8　習(xí)題162
第7章　高維情形下的稀疏線性模型167
　7.1　問題及應(yīng)用167
　　7.1.1　不同的稀疏模型167
　　7.1.2　稀疏線性模型的應(yīng)用168
　7.2　無噪情形下的還原171
　　7.2.1?。?松弛172
　　7.2.2　精確還原和限制零空間172
　　7.2.3　限制零空間的充分條件174
　7.3　有噪情形下的估計178
　　7.3.1　受限特征值條件178
　　7.3.2　嚴格稀疏模型下的2誤差界180
　　7.3.3　隨機設(shè)計矩陣的受限零空間和特征值183
　7.4　預(yù)測誤差的界186
　7.5　變量或子集選擇188
　　7.5.1　Lasso的變量選擇相合性188
　　7.5.2　定理7.21的證明191
　7.6　附錄:定理7.16的證明193
　7.7　參考文獻和背景195
　7.8　習(xí)題197
第8章　高維下的主成分分析204
　8.1　主成分和降維204
　　8.1.1　PCA的解釋和應(yīng)用205
　　8.1.2　特征值和特征空間的擾動208
　8.2　一般特征向量的界209
　　8.2.1　一個一