牛爸思維訓(xùn)練（二年級）

　　再版序古人云：“天不生仲尼，萬古如長夜。”如果人類沒有數(shù)學(xué)，那人類很可能還生活在愚昧之中，數(shù)萬年來一直過著“如長夜”般的生活。 數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科的重要性毋庸置疑，可是校內(nèi)數(shù)學(xué)還不夠嗎，為什么咱家的孩子還要學(xué)奧數(shù)呢？關(guān)于這個問題，不同的人有不同的回答，也會做出不同的選擇。無論是抱著功利的目的，想在升學(xué)之路上取得先機(jī)或不被拋下；還是純粹為了培養(yǎng)興趣、拓展思維；抑或?qū)W數(shù)很不屑，敬而遠(yuǎn)之。凡此種種，都可以理解。然而相對于小學(xué)校內(nèi)數(shù)學(xué)，奧數(shù)體系在數(shù)學(xué)的廣度和深度上都大大地拓展了，在系統(tǒng)學(xué)習(xí)的過程中，孩子不僅可以接觸到很多重要的數(shù)學(xué)思想，還能了解很多知識點背后的數(shù)學(xué)歷史，對培養(yǎng)孩子的數(shù)學(xué)興趣和能力，無疑是大有裨益的，試舉例說明如下。 ■分類與枚舉 對于小學(xué)生而言，分類可以說是除了計算能力之外*重要的數(shù)學(xué)能力！法國的數(shù)學(xué)大師笛卡爾在方法論中告訴我們： 研究復(fù)雜問題，應(yīng)盡量將其分解為多個比較簡單的小問題，一個一個地分開解決；對于小問題，要從簡單到復(fù)雜排列，先從容易解決的問題著手。在小學(xué)奧數(shù)中，有很多知識模塊特別鍛煉孩子的合理分類與有序枚舉的能力，比如幾何圖形計數(shù)、加乘原理、各種與數(shù)字性質(zhì)相關(guān)的題型。 ■假設(shè) 先對題目中的已知條件或問題作出某種假設(shè)，然后按照題中的已知條件進(jìn)行推算，如果出現(xiàn)矛盾，加以適當(dāng)調(diào)整，*后找到正確答案。假設(shè)法在真假型邏輯推理、雞兔同籠以及其他二元問題上有廣泛的應(yīng)用，同時在豎式謎、數(shù)論等題目中，如果涉及復(fù)雜的條件判定，逐一假設(shè)也是常用的手段。 ■數(shù)形結(jié)合 中國近代的大數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)寫過一首小詩：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。”這首小詩講的是數(shù)學(xué)中*古老的對象“數(shù)”與“形”之間的緊密聯(lián)系，通常稱為“數(shù)形結(jié)合”。“數(shù)”精確、“形”直觀，在解題時如果能雙劍合璧，就可以發(fā)揮無窮威力！小學(xué)奧數(shù)體系當(dāng)中，有許多知識模塊可以鍛煉孩子的數(shù)形結(jié)合能力，比如還原問題、復(fù)雜平均數(shù)問題、和差倍問題、年齡問題、行程問題，以及平面幾何中的代數(shù)解法等。數(shù)形結(jié)合，特別強(qiáng)調(diào)動手畫圖（以線段圖居多），這需要孩子能理解題意、抽取出關(guān)鍵要素并通過畫圖體現(xiàn)出來，對孩子的動手能力、抽象能力也是有益的鍛煉。 ■代換與代數(shù)思想 回顧我們自己學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程就會發(fā)現(xiàn)，實際上我們是從具象一步步走向抽象，數(shù)學(xué)能力也就隨之同步提升。在很小的時候，計算要靠數(shù)手指頭這樣的實物，后來變成了書本上蘋果等形象化的實物，再后來借助正方形、三角形等這樣略具抽象的形狀，隨后逐步走向符號化，進(jìn)而進(jìn)入代數(shù)的世界。在小學(xué)奧數(shù)低年級的體系中，經(jīng)常出現(xiàn)的等量代換題目就是初等的代數(shù)思想；在很多題型當(dāng)中，我們強(qiáng)調(diào)用字母來表示未知的量，一來方便書寫，二來也是在培養(yǎng)基本的代數(shù)思想；到了小學(xué)中高年級，開始接觸方程解法，更是從算術(shù)方法逐漸向代數(shù)方法過渡。 ■數(shù)學(xué)建模思想 大家口中經(jīng)常說某些題是套路題，隱約間套路就和只會照搬、不會靈活運用畫上了等號，這其中怕是有些誤解。實際上，套路本身更多的時候體現(xiàn)的是一種數(shù)學(xué)建模思想，如何從變化多端的外在題型中抽取出其數(shù)學(xué)本質(zhì)，轉(zhuǎn)換成自己所熟知的基本數(shù)學(xué)模型，這是一種很高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是數(shù)學(xué)能力的體現(xiàn)。歐拉從七座橋問題提煉出了一筆畫與多筆畫，伯努利從裝錯信封問題總結(jié)出一般的錯排規(guī)律，柳卡在哈佛開會期間想出柳卡圖……這些數(shù)學(xué)大神們從日常生活問題中抽取數(shù)學(xué)本質(zhì)，進(jìn)而得出數(shù)學(xué)模型的能力真是讓人神往。對于小學(xué)生而言，可能還無法做到面對一個模式的數(shù)學(xué)題型，從中總結(jié)出其數(shù)學(xué)基本模型，然而這是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)所要追求的目標(biāo)。要想接近這個目標(biāo)，就要從熟悉各種基本模型（套路）開始。比如將各種各樣的盈虧變種問題轉(zhuǎn)換成基本盈虧問題，將不是整倍數(shù)的倍數(shù)問題轉(zhuǎn)換成整倍數(shù)，將不符合裂項基本型的問題想辦法轉(zhuǎn)換成裂項基本型，用遞推模型思想來理解斐波那契數(shù)列、漢諾塔、爬樓梯、覆蓋、環(huán)形染色等計數(shù)問題…… ■整體思想 無論是在學(xué)習(xí)上還是工作上，人們?nèi)菀?ldquo;拘泥于細(xì)微，失之于大局”。在數(shù)學(xué)上，對數(shù)學(xué)問題的觀察和分析從宏觀和大處著手，整體把握，化零為整，往往不失為一種更便捷、更省時的方法，這在奧數(shù)學(xué)習(xí)過程中也是可以鍛煉到的能力。如“一條小狗在相向而行的兩人之間來回跑動，到兩人相遇小狗跑動了多長的距離”就是一個典型的例子，再比如巧算中的整體換元、工程問題中的整體效率等。 實際上，在小學(xué)奧數(shù)體系中能鍛煉的數(shù)學(xué)思想還有很多，比如“對應(yīng)”“集合”“化歸”“極值”“歸納”等。不管是否有比賽、是否有禁奧令，也不管你學(xué)與不學(xué)，奧數(shù)就在那里；上面提到的這些重要的數(shù)學(xué)思想在奧數(shù)中有深刻的體現(xiàn)。但是怎么學(xué)，用什么教材學(xué)呢？這就是另外一個話題了。 牛爸當(dāng)初也沒有想到自己編寫教材，但是在將市面上的教材都翻了一個遍之后，發(fā)現(xiàn)基本都是各種習(xí)題集，偶爾有的書中夾雜點吸引孩子的圖片、小故事，但也僅此而已。于是牛爸就下定決心編寫一本真正適合孩子的奧數(shù)輔導(dǎo)書籍。說易行難，從哪里開始呢？ 牛爸的思路很簡單： 學(xué)數(shù)學(xué)如同登山看風(fēng)景，爬得越高，欣賞的風(fēng)景就越美。那我們就不在山腳下、半山腰徘徊了，直奔山頂而去吧。因此牛爸把目標(biāo)直接定在了歷年的競賽真題上（競賽沒有了，但是真題還在；如同恐龍沒有了，但是化石還在）。 開始行動后，牛爸業(yè)余時間全部撲在了上面，搜集了大量的競賽真題，并把每道題目都做了一個遍。為了能站在小孩子的角度上來解題，牛爸還自廢武功，放棄了所有“高級”的解題方法，像什么方程、反證法、歸納法什么的統(tǒng)統(tǒng)不用，只用牛牛這個小學(xué)生能夠掌握的招法。接下來就是分類整理分析了，把同類型的題目歸集到一塊兒，有的大類里頭還分不同的小類，比如植樹問題里面就有鋸木頭、敲鐘、爬樓梯等不同的小類別。在把分好類的題目由易到難排好順序之后，就開始了*艱難的一部分： 把解題思路詳細(xì)地寫下來！為了讓牛牛通過獨立閱讀就能夠理解，并且*好被吸引住，牛爸沒少花心思。在語言上盡量輕松活潑，避免干巴巴的說教；解題上有時故意露出破綻，模擬小朋友常見的錯誤，期待著被牛牛看破；在解題過程上也努力做到詳盡，把每一步的來龍去脈都寫清楚，畢竟當(dāng)時牛牛只是一個二年級的小學(xué)生啊，沒點東西吸引他，他很快就會厭惡排斥的。就這樣，牛爸用了3個月的時間（把業(yè)余時間全用上了）完成了初稿。每寫完一講，就給牛牛學(xué)一講，小家伙還真是喜歡上了自己爸爸寫的資料，不僅能夠毫無障礙地獨立學(xué)習(xí)，時不時還能發(fā)現(xiàn)其中的錯誤呢！這就是本書*初的由來。 那么是什么讓牛爸的資料從家里的書房走向書店，又在眾多奧數(shù)教輔書籍中嶄露頭角呢？想來有如下幾點原因。 ◆趣味性 牛爸創(chuàng)作的初衷是給自己當(dāng)時上二年級的兒子看的，要想讓一個低年級小朋友愿意看書不難，難的是要讓他喜歡看奧數(shù)書！因此在牛爸系列圖書中引入了風(fēng)趣幽默的父子情景對話，字里行間描述了一對父子在奧數(shù)學(xué)習(xí)之路上遇到的各種趣事，小朋友讀來會倍感親切（想必有些類似的事情在自己的生活中也出現(xiàn)過）。除此之外，在涉及一些有歷史淵源的知識點時，牛爸會引入與之相關(guān)的背景故事，小朋友讀來會覺得津津有味，對這些知識當(dāng)然記得會更深刻啦。 ◆實戰(zhàn)真題 牛爸系列圖書是緊跟各大競賽的，所選題目90%以上均取自上海、北京等地重要杯賽的*競賽真題，題目的難度*是夠夠的！那么牛爸選擇了哪些競賽呢？ 上海地區(qū)的競賽以鼎盛時期的四大杯賽為主（中環(huán)杯、亞太杯、小機(jī)靈杯、走美杯）。 北京地區(qū)的杯賽為數(shù)學(xué)花園探秘（迎春杯）。 全國范圍的競賽為華杯賽。 上述杯賽有的已經(jīng)不復(fù)存在，但這些真題對鍛煉數(shù)學(xué)思維起到的作用猶在！ ◆原理與解題并重 牛爸非常注重數(shù)學(xué)原理的證明或推導(dǎo)，無論是在書中還是課堂上，只要證明過程沒有超出小學(xué)生的理解范圍，牛爸總是用大量的篇幅介紹這些知識點的來龍去脈，期望讓小朋友們能理解數(shù)學(xué)的證明之美，從小培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維。牛爸認(rèn)為，如果能深入各個知識點背后，抓住其數(shù)學(xué)原理的實質(zhì)，那很多表面上看起來零零散散的知識就可以被串起來了。比如數(shù)論中的各種整除、余數(shù)規(guī)律，如果小朋友理解了背后的推導(dǎo)，就不僅能把整除和求余統(tǒng)一起來，或是對幾位一切、是求和還是求差了然于胸，還能進(jìn)一步對位值原理、進(jìn)位制等其他知識加深認(rèn)識。練就了從原理上理解數(shù)學(xué)知識的內(nèi)功，再掌握了各種招數(shù)（解題技巧），那武功不是得蹭蹭蹭地往上竄嘛！ ◆從小朋友的視角出發(fā) 《冷齋夜話》中有一個故事，說大詩人白居易“每作詩，令一老嫗解之，問曰：‘解否？’嫗曰解，則錄之；不解，則易之。”牛爸在寫這一系列圖書時，也是竭力從小學(xué)生的角度來講解每一道題，力求牛牛能夠看懂。為此，牛爸對于題目，尤其是難題，均做了非常細(xì)致的分析，絕非普通的奧數(shù)教材可以比擬。不僅如此，書中還穿插了孩子們在日常奧數(shù)學(xué)習(xí)過程中的常見錯誤、不良學(xué)習(xí)習(xí)慣，以及具體解題時的易錯點等。這樣就能使小朋友們養(yǎng)成比較好的習(xí)慣，做題時能遠(yuǎn)離各種陷阱，使得奧數(shù)學(xué)習(xí)事半功倍！毫不夸張地說，不僅家長看了之后可以自己輔導(dǎo)孩子，甚至孩子自己都可以拿來自學(xué)了。 有許多家長作為牛爸系列圖書的忠實分子追隨著牛爸的足跡一路走來，對此牛爸特別想對他們說聲感謝！像江蘇的宸媽、澄媽、涵媽、球球媽、澤爸、錢媽，山東的元媽，四川的儀媽，浙江的多媽、源媽、悠媽、晨媽、曼曼媽，廣東的翔媽、延媽、琳媽、廷爸……上海的家長自然就更多了，不再一一列舉。所有牛爸系列圖書的小讀者、大讀者，都是牛爸不計成本、奮力前行的*動力。 *后，特別感謝杭州的家長林小入（她本人是一名美術(shù)工作者）為本書設(shè)計了一個可愛的小牛圖標(biāo)，也特別感謝南京的澄媽為本書做了細(xì)致的校對。牛牛爸爸 2018年5月

　　牛牛爸爸，簡稱牛爸，本名孫躍勇，復(fù)旦大學(xué)計算機(jī)系本科、研究生畢業(yè)，牛爸教育創(chuàng)始人。曾在英特爾任職十多年，先后擔(dān)任高級軟件工程師、項目經(jīng)理等職務(wù)。牛爸學(xué)生時代是學(xué)霸一枚，高考時為市狀元，近些年來在努力雞娃之余，將奧數(shù)心得總結(jié)下來，先后出版《決戰(zhàn)春蕾杯》《牛爸講奧數(shù)（三年級）》《牛爸講奧數(shù)并贏得數(shù)萬粉絲。牛爸同時開設(shè)有奧數(shù)、編程等在線課程，以死磕的精神、幽默的語言，從專業(yè)的角度，做獨特的講解。不一樣的學(xué)習(xí)體驗，盡在牛爸教育。