測(cè)度論基礎(chǔ)與高等概率論

目錄
前言
第1章 集合論初步 1
1.1 集合運(yùn)算 1
1.1.1 集合概念 1
1.1.2 基本運(yùn)算 2
1.1.3 上極限和下極限 3
1.1.4 集類概念 5
1.2 映射、笛卡兒積與逆像 7
1.2.1 映射 7
1.2.2 示性函數(shù) 9
1.2.3 笛卡兒積 10
1.2.4 逆像 13
1.2.5 向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 15
1.3 集合的勢(shì) 18
1.3.1 Bernstein定理 18
1.3.2 可數(shù)集與不可數(shù)集 20
第2章 點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)初步 24
2.1 度量空間 24
2.1.1 度量空間的定義 24
2.1.2 度量空間中的開集和鄰域 25
2.1.3 完備度量空間 25
2.1.4 Banach 空間 26
2.1.5 乘積度量空間 27
2.2 拓?fù)淇臻g 29
2.2.1 拓?fù)淇臻g的定義 29
2.2.2 鄰域 30
2.2.3 基 31
2.2.4 子基 32
2.2.5 制作新拓?fù)淇臻g的方法 32
2.2.6 閉包、內(nèi)部和邊界 34
2.2.7 拓?fù)淇臻g中序列的收斂性 34
2.3 連續(xù)映射 36
2.3.1 度量空間上的連續(xù)映射 36
2.3.2 拓?fù)淇臻g上的連續(xù)映射 37
2.4 可數(shù)性和可分性 40
2.4.1 第一可數(shù)空間 40
2.4.2 第二可數(shù)空間 41
2.4.3 可分空間 43
2.5 分離性 44
2.5.1 Ti空間 44
2.5.2 Hausdorff空間 44
2.5.3 正規(guī)空間 44
2.6 緊性 47
2.6.1 緊空間 47
2.6.2 弱于緊性的幾種空間 49
2.7 度量空間中的緊性特征 52
2.7.1 Lebesgue數(shù) 52
2.7.2 完全有界集 53
2.7.3 一般度量空間中的緊性特征 55
2.7.4 歐氏空間中的緊性特征 56
第3章 集類 58
3.1 幾種常見的集類 58
3.1.1 幾個(gè)術(shù)語 58
3.1.2 半環(huán) 59
3.1.3 代數(shù) 60
3.1.4 *代數(shù) 60
3.1.5 單調(diào)類 61
3.1.6 入類 61
3.2 單調(diào)類定理和π-λ定理 63
3.2.1 生成元 63
3.2.2 單調(diào)類定理 64
3.2.3 π-λ定理 65
3.2.4 關(guān)于集合的典型方法 65
3.3 生成*代數(shù)的幾種常見方法 66
3.3.1 由一族*代數(shù)生成*代數(shù) 66
3.3.2 逆像*代數(shù) 67
3.3.3 跡*代數(shù) 67
3.3.4 可測(cè)空間與可測(cè)拓?fù)淇臻g 68
3.4 與R相關(guān)的Borel*代數(shù)的結(jié)構(gòu) 69
3.4.1 Rd上的Borel*代數(shù)的結(jié)構(gòu) 69
3.4.2 C上的Borel*代數(shù)的結(jié)構(gòu) 71
3.4.3 *上的Borel*代數(shù)的結(jié)構(gòu) 72
第4章 測(cè)度與概率測(cè)度 76
4.1 測(cè)度的定義及基本性質(zhì) 76
4.1.1 測(cè)度的定義 76
4.1.2 半環(huán)上的有限可加測(cè)度 78
4.1.3 半環(huán)上的測(cè)度 79
4.1.4 有限可加測(cè)度成為測(cè)度的條件 81
4.1.5 *有限測(cè)度 82
4.1.6 測(cè)度空間 82
4.2 測(cè)度從半環(huán)到*代數(shù)的擴(kuò)張 85
4.2.1 外測(cè)度 85
4.2.2 由外測(cè)度誘導(dǎo)的測(cè)度 86
4.2.3 由半環(huán)上的測(cè)度誘導(dǎo)的外測(cè)度 87
4.2.4 測(cè)度擴(kuò)張定理 89
4.3 測(cè)度空間的完備化 91
4.3.1 完備測(cè)度空間 91
4.3.2 測(cè)度空間的*小完備化 92
4.3.3 完備化的其他常見操作方法及等價(jià)性 94
4.3.4 與外測(cè)度有關(guān)的完備化 95
4.4 d 維歐氏空間中的L-S測(cè)度 97
4.4.1 從L-S函數(shù)到L-S測(cè)度 97
4.4.2 從L-S測(cè)度到L-S函數(shù) 101
4.4.3 有限測(cè)度與準(zhǔn)分布函數(shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系 102
4.4.4 連續(xù)點(diǎn)與連續(xù)集 103
4.5 d 維歐氏空間中的L測(cè)度 105
4.5.1 L函數(shù)與L測(cè)度 105
4.5.2 L測(cè)度的平移不變性 106
4.5.3 L測(cè)度的反射不變性 107
4.5.4 Rd中的非L可測(cè)集 108
4.5.5 三分Cantor集及其L測(cè)度 109
第5章 可測(cè)映射與隨機(jī)變量 111
5.1 可測(cè)映射 111
5.1.1 可測(cè)映射的定義 111
5.1.2 由映射生成*代數(shù) 112
5.2 可測(cè)函數(shù) 113
5.2.1 可測(cè)函數(shù)的定義 113
5.2.2 Baire*代數(shù) 114
5.2.3 可測(cè)函數(shù)的簡(jiǎn)單判別法 114
5.2.4 可測(cè)函數(shù)的基本性質(zhì) 115
5.2.5 可測(cè)函數(shù)的極限性質(zhì) 117
5.2.6 向量值可測(cè)函數(shù) 118
5.2.7 復(fù)值可測(cè)函數(shù) 119
5.3 簡(jiǎn)單可測(cè)函數(shù)和可測(cè)函數(shù)的結(jié)構(gòu)性質(zhì) 121
5.3.1 簡(jiǎn)單可測(cè)函數(shù) 121
5.3.2 可測(cè)函數(shù)的結(jié)構(gòu)性質(zhì) 121
5.3.3 關(guān)于可測(cè)函數(shù)的典型方法 124
5.4 像測(cè)度和概率分布 126
5.4.1 像測(cè)度 126
5.4.2 從隨機(jī)變量到分布函數(shù) 127
5.4.3 從分布函數(shù)到隨機(jī)變量 129
5.4.4 復(fù)值隨機(jī)變量 130
第6章 幾乎處處收斂和依測(cè)度收斂 131
6.1 幾乎處處收斂及其基本列 131
6.1.1 幾乎處處成立 131
6.1.2 幾乎處處收斂 132
6.1.3 幾乎處處收斂的基本列 133
6.2 幾乎一致收斂 136
6.3 依測(cè)度收斂及其基本列 138
6.3.1 依測(cè)度收斂 138
6.3.2 依測(cè)度收斂的基本列 139
6.3.3 依概率收斂 142
6.3.4 子序列原理 144
第7章 Lebesgue積分與數(shù)學(xué)期望 147
7.1 Lebesgue積分的定義 147
7.1.1 非負(fù)簡(jiǎn)單可測(cè)函數(shù)的L積分 147
7.1.2 非負(fù)可測(cè)函數(shù)的L積分 150
7.1.3 一般可測(cè)函數(shù)的L積分 151
7.1.4 復(fù)值可測(cè)函數(shù)的L積分 152
7.1.5 數(shù)學(xué)期望和方差 152
7.2 Lebesgue積分的性質(zhì) 153
7.2.1 基本性質(zhì) 153
7.2.2 可積性準(zhǔn)則 157
7.3 三大積分收斂定理 158
7.3.1 單調(diào)收斂定理和典型方法 159
7.3.2 Fatou引理 163
7.3.3 控制收斂定理 164
7.4 Stieltjes積分 169
7.4.1 L-S積分 169
7.4.2 R-S積分 170
7.4.3 反常R-S積分 177
第8章 不定積分和符號(hào)測(cè)度 180
8.1 符號(hào)測(cè)度與Hahn-Jordan分解 180
8.1.1 不定積分 180
8.1.2 符號(hào)測(cè)度的定義 181
8.1.3 符號(hào)測(cè)度的Hahn-Jordan分解 183
8.1.4 符號(hào)測(cè)度的積分 187
8.2 絕對(duì)連續(xù)與Radon-Nikoym定理 189
8.2.1 絕對(duì)連續(xù) 189
8.2.2 Radon-Nikodym定理 190
8.3 相互奇異與Lebesgue分解定理 199
8.3.1 相互奇異 199
8.3.2 Lebesgue分解定理 199
8.4 分布函數(shù)的類型及分解 201
8.4.1 Rd上有限Borel測(cè)度的類型及分解 201
8.4.2 分布函數(shù)的類型 203
8.4.3 分布函數(shù)的分解 206
8.5 左連續(xù)逆和均勻分布的構(gòu)造 207
8.5.1 左連續(xù)逆 207
8.5.2 均勻分布的構(gòu)造 208
第9章 Lebesgue空間與一致可積性 211
9.1 幾個(gè)重要的積分不等式 211
9.1.1 Lebesgue空間的定義 211
9.1.2 積分形式的cr不等式 212
9.1.3 Jensen不等式 213
9.1.4 Kimball不等式 215
9.1.5 Holder不等式 216
9.1.6 Minkowski不等式 217
9.2 三類Lebesgue空間 219
9.2.1 函數(shù)空間Lp 220
9.2.2 函數(shù)空間* 222
9.2.3 符號(hào)測(cè)度空間 223
9.3 一致可積族 226
9.3.1 一致可積的定義 226
9.3.2 一致可積準(zhǔn)則 227
9.3.3 Lp收斂準(zhǔn)則 229
第10章 乘積可測(cè)空間上的測(cè)度與積分 232
10.1 乘積可測(cè)空間 232
10.1.1 有限乘積可測(cè)空間 232
10.1.2 任意乘積可測(cè)空間 232
10.1.3 與K有關(guān)的幾個(gè)乘積*代數(shù) 235
10.2 有限個(gè)測(cè)度空間的乘積 237
10.2.1 截口 238
10.2.2 乘積測(cè)度 240
10.3 Tonelli定理和Fubini定理 244
10.3.1 Tonelli定理 244
10.3.2 Fubini定理 246
10.4 無窮乘積可測(cè)空間上的概率測(cè)度 249
10.4.1 可數(shù)個(gè)概率空間的乘積 249
10.4.2 Kolmogorov相容性定理 251
10.4.3 任意多個(gè)概率空間的乘積 255
第11章 局部緊Hausdorff空間上的測(cè)度 257
11.1 局部緊Hausdorff空間上的連續(xù)函數(shù) 257
11.1.1 認(rèn)識(shí)局部緊Hausdorff空間 257
11.1.2 局部緊Hausdorff空間上的連續(xù)函數(shù) 259
11.2 局部緊Hausdorff空間上的測(cè)度與Riesz表現(xiàn)定理 260
11.2.1 正則測(cè)度 260
11.2.2 Radon測(cè)度 263
11.2.3 Riesz表現(xiàn)定理 263
11.3 用連續(xù)函數(shù)逼近可測(cè)函數(shù) 269
11.3.1 引理9.20的深化 269
11.3.2 Luzin定理 270
11.4 Radon乘積測(cè)度 271
11.4.1 Radon乘積測(cè)度的定義 271
11.4.2 關(guān)于Radon乘積測(cè)度積分的Fubini定理 276
第12章 弱收斂 281
12.1 度量空間上有限測(cè)度的基本性質(zhì) 281
12.1.1 基本性質(zhì) 281
12.1.2 單個(gè)有限測(cè)度的胎緊性 283
12.2 度量空間上有限測(cè)度的弱收斂 284
12.2.1 弱收斂的定義 284
12.2.2 Portemanteau定理 284
12.2.3 連續(xù)映射定理 286
12.3 R上有界L-S函數(shù)的弱收斂 288
12.3.1 L-S函數(shù)弱收斂的定義 288
12.3.2 Helly弱緊準(zhǔn)則 288
12.3.3 Helly-Bray定理 290
12.4 與R相關(guān)的度量空間上概率測(cè)度的弱收斂 295
12.4.1 弱收斂的充分條件 295
12.4.2 B（Rd）上概率測(cè)度的弱收斂 297
12.4.3 B（R*）上概率測(cè)度的弱收斂 298
12.5 隨機(jī)向量的依分布收斂 300
12.5.1 依分布收斂的定義 300
12.5.2 Slutzky定理 302
12.5.3 依分布收斂與依概率收斂的關(guān)系 303
12.6 左連續(xù)逆的收斂性和Skorohod表示定理 305
12.6.1 左連續(xù)逆的收斂性 305
12.6.2 Skorohod表示定理 306
12.7 相對(duì)緊、胎緊和Prokhorov定理 307
12.7.1 概率測(cè)度族的相對(duì)緊性 307
12.7.2 概率測(cè)度族的胎緊性 307
12.7.3 Prokhorov定理 308
參考文獻(xiàn) 314
索引 315