復變函數(shù)與積分變換

前言
第1章復數(shù)與復變函數(shù)1
11復數(shù)及其運算1
111復數(shù)的概念1
112復數(shù)的四則運算2
113共軛復數(shù)2
12復數(shù)的幾何表示3
121復平面3
122復數(shù)的模與輻角3
123復數(shù)的三角表示與指數(shù)表示5
124復球面5
13復數(shù)的乘積與商乘冪與方根7
131復數(shù)的乘積與商7
132復數(shù)的乘冪與方根8
14復平面上的點集11
141點集的概念11
142區(qū)域12
143曲線12
144單連通區(qū)域與多連通區(qū)域13
15復變函數(shù)13
151復變函數(shù)的概念13
152映射的概念15
16復變函數(shù)的極限與連續(xù)16
161復變函數(shù)的極限16
162復變函數(shù)的連續(xù)19
第1章小結20
第1章習題22
第2章復變函數(shù)解析性24
21復變函數(shù)導數(shù)24
211復變函數(shù)導數(shù)的概念24
212求導運算法則25
213微分的概念26
214函數(shù)可導的充要條件26
22解析函數(shù)29
221解析函數(shù)的概念29
222函數(shù)解析的充要條件30
23調和函數(shù)32
231調和函數(shù)的概念32
232解析函數(shù)與調和函數(shù)的關系33
233共軛調和函數(shù)的概念33
234已知實部或虛部的解析函數(shù)的
表達式33
24初等函數(shù)36
241指數(shù)函數(shù)36
242對數(shù)函數(shù)37
243冪函數(shù)39
244三角函數(shù)與反三角函數(shù)40
245雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)42
第2章小結43
第2章習題45
第3章復變函數(shù)積分48
31復變函數(shù)積分的概念48
311復變函數(shù)積分的定義48
312復變函數(shù)積分存在的條件及其
計算49
313復變函數(shù)積分的基本性質51
32基本定理及其推廣52
321基本定理52
322基本定理的推廣53
323原函數(shù)55
33柯西積分公式和高階導數(shù)公式56
331柯西積分公式56
332解析函數(shù)的高階導數(shù)58
第3章小結61
第3章習題63
第4章級數(shù)65
41復數(shù)項級數(shù)與冪級數(shù)65
411復數(shù)列的收斂性65
412復數(shù)項級數(shù)66
413冪級數(shù)68
42泰勒級數(shù)71
43洛朗級數(shù)74
431洛朗級數(shù)的概念74
432解析函數(shù)的洛朗展開式76
第4章小結79
第4章習題82
目錄復變函數(shù)與積分變換第5章留數(shù)84
51孤立奇點84
511孤立奇點的分類84
512孤立奇點的性質85
513零點與極點的關系87
514解析函數(shù)在無窮遠點的性質88
52留數(shù)89
521留數(shù)的定義89
522留數(shù)的計算規(guī)則89
523無窮遠點的留數(shù)91
53留數(shù)在定積分計算上的應用93
531形如∫2π0R(cos θ,sin θ)dθ的
積分93
532形如∫+∞-∞R(x)dx的積分94
533形如∫+∞-∞R(x)eaixdxa>0,R(x)=P(x)Q(x)
的積分95
54輻角原理及其應用96
541對數(shù)原理96
542輻角原理97
543儒歇定理98
第5章小結99
第5章習題103
*第6章共形映射105
61解析變換的特征105
611解析變換的性質105
612保角變換與共形映射108
62分式線性變換109
621分式線性變換的定義109
622分式線性變換的映射性質110
623分式線性變換的應用114
63幾個初等函數(shù)構成的共形映射116
631冪函數(shù)w=zn(n≥2為整數(shù))116
632指數(shù)函數(shù)w=ez117
64黎曼定理及其簡單應用118
641大模原理118
642施瓦茨引理119
643黎曼定理120
第6章小結123
第6章習題125
第7章傅里葉變換127
71傅里葉變換的概念127
711傅里葉級數(shù)127
712傅里葉積分129
713傅里葉變換130
72傅里葉變換的性質132
721基本性質132
722卷積與卷積定理135
73傅里葉變換的應用137
731單位脈沖函數(shù)(δ函數(shù))的概念及其
性質137
732δ函數(shù)的傅里葉變換138
第7章小結139
第7章習題141
第8章拉普拉斯變換143
81拉普拉斯變換的概念143
811拉普拉斯變換的定義143
812拉普拉斯變換的存在定理145
82拉普拉斯變換的性質146
821基本性質146
822卷積定理150
83拉普拉斯逆變換152
831拉普拉斯反演積分公式152
832拉普拉斯逆變換定理153
84拉普拉斯變換的應用155
841求解常微分方程155
842綜合應用舉例156
第8章小結158
第8章習題160
附錄162
附錄A傅里葉變換簡表162
附錄B拉普拉斯變換簡表164
習題參考答案169
參考文獻177