從零開(kāi)始讀懂微積分

目錄
第1章天賦還是勤奮
1.1沒(méi)什么特別的人類(lèi)
1.2難以測(cè)量的直覺(jué)
第2章想象力是最大的武器
2.1哥貝克力石陣
2.2規(guī)天矩地
2.3數(shù)字崇拜
第3章數(shù)字背后的邏輯
3.1誰(shuí)更有錢(qián)
3.2一一映射
3.3快速計(jì)算比賽場(chǎng)次
3.4漢字簡(jiǎn)化
3.5基數(shù)與序數(shù)
第4章區(qū)分抽象與還原
4.1抽象的數(shù)學(xué)處理
4.2生動(dòng)的數(shù)學(xué)還原
4.3抽象與還原之爭(zhēng)
第5章文明的進(jìn)步
5.1古巴比倫數(shù)字
5.2古埃及數(shù)字
5.3古代中國(guó)的算籌
5.4印度人的貢獻(xiàn)
5.5一場(chǎng)生物學(xué)制造的意外
第6章背離經(jīng)驗(yàn)的科學(xué)
6.1相對(duì)論的拼圖
6.2缺損棋盤(pán)問(wèn)題
6.3失效的經(jīng)驗(yàn)
第7章數(shù)學(xué)應(yīng)該怎樣學(xué)（I）
7.1邏輯感
7.2一道解三角形題的本質(zhì)
7.3計(jì)算三角函數(shù)值的標(biāo)準(zhǔn)做法
7.4“三段式”論證
7.5你知道有幾只病狗嗎
第8章數(shù)學(xué)應(yīng)該怎樣學(xué)（II）
8.1結(jié)構(gòu)感知力
8.2回歸求知的本心
第9章史上最大的“邏輯漏洞”
9.1真相是什么
9.2阿基米德的證明
9.3數(shù)學(xué)走上神壇
第10章無(wú)窮的困境
10.1芝諾悖論
10.2阿基里斯與烏龜
10.3飛矢不動(dòng)
10.4理性與感觀
第11章第一次嘗試
11.1伽利略的悖論
11.2抽象與演繹的沖突
11.3伽利略的選擇
第12章無(wú)法回避的難題
12.1封閉的疆域
12.2幾何能做的也有限
12.3數(shù)學(xué)界的思想解放
第13章探尋之路
13.1實(shí)數(shù)的模型
13.2混亂的狀況
13.3柯西與極限
13.4柯西收斂準(zhǔn)則
第14章實(shí)數(shù)軸的重生
14.1康托爾的實(shí)數(shù)模型
14.2 1.000等于0.999嗎
14.3堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)
第15章芝諾悖論的數(shù)學(xué)終結(jié)
15.1可數(shù)無(wú)窮集合
15.2不平凡的可數(shù)集
15.3實(shí)數(shù)集合不可數(shù)
15.4遲到的榮耀
第16章給長(zhǎng)度一個(gè)交代
16.1長(zhǎng)度的數(shù)學(xué)本質(zhì)
16.2升級(jí)版長(zhǎng)度
16.3勒貝格測(cè)度
第17章分析學(xué)的三條路徑和一種范式
17.1從有限到無(wú)窮
17.2從局部到整體
17.3以簡(jiǎn)單代替復(fù)雜
第18章歸結(jié)原則和兩個(gè)重要極限
18.1第一個(gè)重要極限：
18.2從數(shù)列過(guò)渡到函數(shù)
18.3第二個(gè)重要極限：
18.4“收斂速度”可以求出來(lái)嗎
18.5怎樣跑贏通貨膨脹
18.6第二個(gè)重要極限的證明
第19章連續(xù)性的陷阱
19.1狄利克雷函數(shù)
19.2無(wú)窮振蕩曲線
19.3不可求長(zhǎng)曲線
19.4魏爾斯特拉斯函數(shù)
第20章微分的前世今生
20.1切線與微分
20.2導(dǎo)數(shù)：差商的極限
20.3微分在今天的含義
20.4導(dǎo)數(shù)等于微商嗎
第21章自然的數(shù)學(xué)法則
21.1函數(shù)[ex]的特性
21.2指數(shù)函數(shù)與等角螺線
21.3自然界中的等角螺線
21.4等角螺線與地圖投影
第22章分割的藝術(shù)
22.1黎曼積分
22.2性質(zhì)與實(shí)用的平衡
22.3黎曼積分的性質(zhì)
22.4可積性判定準(zhǔn)則
22.5勒貝格積分
第23章微分與積分的統(tǒng)一
23.1面積如何求導(dǎo)
23.2變限積分：連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)
23.3牛頓-萊布尼茲公式
23.4增強(qiáng)版微積分基本定理
23.5微分中值定理與積分中值定理的統(tǒng)一
第24章多元函數(shù)的世界
24.1方向?qū)?shù)
24.2空間直線有斜率嗎
24.3偏導(dǎo)數(shù)——方向?qū)?shù)衍生品
24.4從切線到切平面
24.5梯度
24.6積分也有方向
24.7斯托克斯公式
第25章泰勒展開(kāi)
25.1微分法
25.2密切法
25.3插值法
25.4冪級(jí)數(shù)的春天
第26章傅里葉展開(kāi)
26.1最小二乘法
26.2正交投影法
26.3三角級(jí)數(shù)的魅力
第27章最小作用量原理
27.1光的折射定律
27.2笛卡兒的解釋
27.3費(fèi)馬最小時(shí)間原理
第28章最優(yōu)逼近——泰勒展開(kāi)的第四張面孔
28.1局部與整體的再一次擁抱
28.2最優(yōu)逼近多項(xiàng)式
28.3逆矩陣的秘密
28.4最優(yōu)逼近多項(xiàng)式的極限
第29章最佳近似——超定方程組的現(xiàn)實(shí)選擇
29.1純代數(shù)的方案
29.2利用費(fèi)馬定理求極值點(diǎn)的方案
29.3造福人類(lèi)的CT技術(shù)
第30章最小損失——人工智能的決策法門(mén)
30.1直線擬合的損失函數(shù)
30.2梯度下降
30.3梯度下降法的變體