有限群的特征標(biāo)理論

目錄
前言
符號和術(shù)語
第1章 表示、模和特征標(biāo) 1
1.1 模 1
1.1.1 Hom與End 1
1.1.2 模的定義 1
1.1.3 張量積 3
1.1.4 張量積模 8
1.1.5 向量空間的張量積 10
1.2 代數(shù)上的表示、模及特征標(biāo) 11
1.2.1 代數(shù) 11
1.2.2 代數(shù)上的模與表示 12
1.2.3 模同態(tài) 14
1.2.4 特征標(biāo) 15
1.2.5 代數(shù)及其模的張量積 16
1.3 完全可約模和半單代數(shù) 18
1.3.1 不可約模和完全可約模 18
1.3.2 半單代數(shù) 22
1.3.3 群代數(shù) 27
第2章 有限群的特征標(biāo)理論基礎(chǔ) 29
2.1 定義 29
2.1.1 基本概念 29
2.1.2 例子和應(yīng)用 35
2.2 特征標(biāo)的基本性質(zhì) 38
2.2.1 常表示的幾條基本事實 39
2.2.2 一次表示和線性特征標(biāo) 40
2.2.3 若干說明 43
2.2.4 代數(shù)整數(shù)、類函數(shù)與特征標(biāo)值 44
2.2.5 正交關(guān)系 46
2.3 特征標(biāo)的核、中心及次數(shù) 50
2.3.1 特征標(biāo)的核 50
2.3.2 特征標(biāo)的中心 51
2.3.3 不可約特征標(biāo)的次數(shù) 53
2.3.4 例子 55
2.4 誘導(dǎo)特征標(biāo) 58
2.4.1 一般域上的誘導(dǎo)特征標(biāo) 58
2.4.2 復(fù)數(shù)域上的誘導(dǎo)特征標(biāo) 63
2.4.3 置換特征標(biāo) 65
2.4.4 Brauer置換引理 69
2.5 特征標(biāo)的積 71
2.5.1 模的張量積與特征標(biāo)的積 71
2.5.2 群直積下的特征標(biāo) 73
2.5.3 特征標(biāo)積的性質(zhì) 75
2.5.4 Frobenius-Schur定理 76
2.6 特征標(biāo)的 Galois共軛與Burnside零值定理 80
2.6.1 特征標(biāo)的Galois共軛 80
2.6.2 Burnside零值定理.85
2.7 Clifford定理 89
2.7.1 特征標(biāo)語言的Clifford定理 89
2.7.2 模語言下的Clifford定理 94
2.8 G-不變特征標(biāo) 99
2.8.1 特征標(biāo)串的基本性質(zhì) 99
2.8.2 特征標(biāo)下降定理和特征標(biāo)提升定理 103
2.8.3 線性特征標(biāo)的擴充 107
2.9 Frobenius群 109
2.9.1 Frobenius定理.109
2.9.2 Frobenius群的結(jié)構(gòu)性質(zhì) 110
2.9.3 Frobenius群的特征標(biāo)理論描寫 113
2.9.4 Camina對 117
2.9.5 特征標(biāo)與群結(jié)構(gòu) 119
第3章 特征標(biāo)的基本理論續(xù).121
3.1 射影表示 121
3.1.1 射影表示和因子系 121
3.1.2 中心擴張和Schur乘子 124
3.1.3 特征標(biāo)串環(huán)境下的射影表示和通常表示.132
3.2 特征標(biāo)的擴充定理 135
3.2.1 同構(gòu)特征標(biāo)串 135
3.2.2 特征標(biāo)的擴充 139
3.3 群作用下的特征標(biāo)與共軛類 142
3.3.1 Glauberman置換引理 143
3.3.2 Glauberman-Isaacs特征標(biāo)對應(yīng).145
3.3.3 群在交換群上的作用 152
3.4 特征標(biāo)的張量積誘導(dǎo)和圈積的表示 154
3.4.1 特征標(biāo)的張量積誘導(dǎo)定理 155
3.4.2 圈積的表示 159
3.5 M-群 163
3.5.1 M-群及 M-特征標(biāo)的基本性質(zhì) 163
3.5.2 可解群與M-群 169
3.6 特征標(biāo)環(huán)上的 Brauer 定理.170
3.6.1 Brauer定理 171
3.6.2 Brauer定理的應(yīng)用 175
3.7 域擴張下的群表示和特征標(biāo) 178
3.7.1 基本事實 178
3.7.2 分裂域 184
3.7.3 不可約表示提升到分裂域時的結(jié)構(gòu)定理.186
3.7.4 p-Brauer特征標(biāo)的基本概念 190
3.8 本原群 192
3.8.1 半線性群 Γ(qm) 193
3.8.2 可解擬本原線性群 196
3.8.3 本原素因子和本原線性群 200
3.8.4 可解置換群在冪集上的正則軌道存在性.203
3.9 線性群 207
3.9.1 有限域上可解線性群的階 207
3.9.2 Blichfeldt定理 212
3.9.3 復(fù)線性群中正規(guī)Sylow子群的存在性 214
3.9.4 復(fù)數(shù)域上的本原線性群 216
3.9.5 p-可解線性群 218
第4章 特征標(biāo)次數(shù).226
4.1 特征標(biāo)次數(shù)的素因子226
4.1.1 It.-Michler定理 226
4.1.2 Thompson定理 230
4.1.3 非交換單群的不可約特征標(biāo) 234
4.2 特征標(biāo)次數(shù)的個數(shù) 236
4.2.1 可解的極小非交換商群 237
4.2.2 |cd(G)|≤4的有限群 240
4.2.3 特征標(biāo)次數(shù)的個數(shù)與可解群的Fitting高 249
4.2.4 特征標(biāo)次數(shù)的個數(shù)與可解群的導(dǎo)長 251
4.2.5 特征標(biāo)次數(shù)的重數(shù) 253
4.3 特征標(biāo)次數(shù)圖 255
4.3.1 準(zhǔn)備工作 256
4.3.2 特征標(biāo)次數(shù)圖的圖論性質(zhì) 262
4.3.3 Γ(G)不連通的有限群 G 的結(jié)構(gòu) 266
4.3.4 特征標(biāo)次數(shù)圖不是完全圖的可解群 268
4.3.5 以特征標(biāo)次數(shù)為頂點的圖 275
4.3.6 特征標(biāo)次數(shù)圖與共軛類長圖的關(guān)系 276
4.4 ρ-σ問題.281
4.4.1 關(guān)于cd(G)的ρ-σ猜想 281
4.4.2 共軛類長形式的ρ-σ問題 287
4.4.3 素因子在特征標(biāo)次數(shù)中出現(xiàn)的重數(shù) 288
4.5 *大特征標(biāo)次數(shù) 290
4.5.1 幾個**結(jié)果 290
4.5.2 大軌道長度 292
4.5.3 |G/Op(G)|p與b(G)的關(guān)系 297
4.5.4 若干注記 302
4.6 平均特征標(biāo)次數(shù) 303
4.6.1 共軛類個數(shù) 303
4.6.2 平均特征標(biāo)次數(shù) 304
4.6.3 平均共軛類長 311
4.7 具有給定特征標(biāo)次數(shù)條件的有限群 316
4.7.1 特征標(biāo)次數(shù)為連續(xù)整數(shù)的有限群 316
4.7.2 特征標(biāo)次數(shù)均平方自由的有限群 327
參考文獻 332
索引 338