雙曲守恒律數值方法概論

目錄
前言
第1章 有限差分法的基礎知識 1
1.1 偏微分方程的差分離散：一個實例 1
1.2 導數的差分逼近的截斷誤差 3
1.3 導數的差分逼近的構造方法 4
1.3.1 待定系數法 4
1.3.2 差分算子法 5
1.4 有限差分格式的一般性要求 8
1.4.1 范數 8
1.4.2 差分格式的相容性 9
1.4.3 差分格式的收斂性 11
1.4.4 差分格式的穩(wěn)定性 11
1.4.5 Lax等價性定理 13
1.5 von Neumann穩(wěn)定性分析方法 14
1.6 差分格式的修正方程 18
習題1 22
第2章 一維雙*守恒律的數學性質 24
2.1 雙*型方程簡介 24
2.1.1 雙*守恒律方程的定義 24
2.1.2 兩個簡單的守恒律示例 26
2.2 流體力學守恒律方程組.28
2.2.1 一維Euler方程 28
2.2.2 等熵流 31
2.2.3 等溫流 32
2.2.4 淺水波方程 32
2.3 特征線、依賴域和影響范圍 33
2.3.1 特征線和特征線法 33
2.3.2 依賴域和影響范圍 38
2.3.3 雙*守恒律及其數值方法的特點 38
2.4 弱解和Rankine-Hugoniot條件 39
2.4.1 非光滑初值問題 39
2.4.2 非線性導致的間斷解 40
2.4.3 弱解的概念和弱解滿足的Rankine-Hugoniot條件 42
2.5 熵解和熵條件 46
2.6 一維標量雙*守恒律熵解的穩(wěn)定性和唯一性 48
2.7 一維標量雙*守恒律的Riemann問題 50
2.7.1 本質非線性Riemann問題的解 51
2.7.2 求解一般情況下Riemann問題的凸包方法 52
2.8 一維雙*守恒律方程組的Riemann問題 54
2.8.1 線性常系數雙*型方程組的Riemann問題 54
2.8.2 非線性雙*守恒律方程組的Riemann問題 56
習題2 57
第3章 一維雙*守恒律的**數值方法 59
3.1 有限體積法的基本形式 59
3.1.1 有限體積法的相容性 61
3.1.2 有限體積法的穩(wěn)定性 61
3.2 守恒律的幾個**格式 62
3.2.1 中心通量格式 63
3.2.2 Lax-Friedrichs格式(1954) 63
3.2.3 Lax-Wendroff格式(1960) 63
3.2.4 Richtmyer兩步Lax-Wendroff格式(1967) 64
3.2.5 MacCormack格式(1969) 65
3.3 迎風格式 65
3.4 雙*型方程組的Godunov方法 69
3.5 波傳播、通量差分分裂和Roe方法 70
3.5.1 一階Godunov方法的波傳播方法表示 70
3.5.2 通量差分分裂和Roe方法 73
3.6 矢通量分裂方法 74
3.6.1 van Leer分裂 75
3.6.2 AUSM分裂 76
3.7 方程組Riemann問題的其他近似解法 77
3.7.1 HLL 近似Riemann解和數值通量 77
3.7.2 HLLC 近似Riemann解和數值通量 80
3.8 邊界條件 83
3.8.1 周期邊界條件 84
3.8.2 對流問題 84
3.8.3 波動問題 86
3.9 一維標量守恒律單調格式的數學理論 87
3.9.1 守恒型格式的重要性 87
3.9.2 一些常見的守恒型格式 89
3.9.3 單調格式的數學理論 92
習題3 98
第4章 一維雙*守恒律的高分辨率方法 100
4.1 通量限制器方法 100
4.2 基于斜率限制器的MUSCL格式 105
4.3 推廣的MUSCL格式 108
4.4 TVB格式 112
習題4 113
第5章 一維雙*守恒律的ENO和WENO方法 115
5.1 基于原函數的重構 115
5.2 ENO重構 116
5.3 標量雙*守恒律的ENO格式 121
5.3.1 有限體積ENO格式 121
5.3.2 有限差分ENO格式 124
5.4 WENO重構 126
5.5 標量雙*守恒律的WENO格式 129
5.5.1 有限體積WENO格式 129
5.5.2 有限差分WENO格式 130
5.6 守恒律方程組的ENO和WENO方法 132
5.7 半離散格式的時間離散方法 133
習題5 134
第6章 雙*守恒律的間斷有限元方法簡介 136
6.1 一維標量雙*守恒律的RKDG方法 136
6.1.1 DG空間離散 136
6.1.2 TVD Runge-Kutta時間離散 141
6.1.3 線性情況下的穩(wěn)定性 142
6.1.4 廣義斜率限制器 142
6.2 多維守恒律方程組的RKDG方法 145
6.2.1 方法的數學描述 145
6.2.2 算法和實施細節(jié) 147
6.3 數值算例 153
習題6 155
第7章 貼體結構網格生成技術 156
7.1 坐標變換關系 159
7.1.1 坐標變換的度量項及其計算方法 159
7.1.2 度規(guī)張量及坐標變換的物理特性 161
7.1.3 正交坐標系和保角坐標系 162
7.2 一般*線坐標系中流體力學方程組的強守恒形式 164
7.3 保角變換方法 166
7.3.1 保角變換的概念 166
7.3.2 序列保角映射 167
7.3.3 單步保角映射 169
7.4 代數映射方法 172
7.4.1 一維拉伸函數法 172
7.4.2 兩邊界法 174
7.4.3 多面法 176
7.4.4 無限插值法 178
7.5 偏微分方程方法 181
7.5.1 雙*型方程法 182
7.5.2 橢圓型方程法 183
7.6 網格生成實例 187
習題7 199
參考文獻 202
索引 207