動力系統(tǒng)中的小除數(shù)理論及應(yīng)用

目錄
“現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)叢書” 序
前言
第1章 引言 1
1.1 柱面映射的不變*線 1
1.2 解析映射的線性化 3
1.3 哈密頓系統(tǒng)的不變環(huán) 4
第2章 無理數(shù)的連分數(shù)展開和**的小除數(shù)條件 6
2.1 連分數(shù)展開 6
2.1.1 無理數(shù)的連分數(shù)展開 6
2.1.2 無理數(shù)的*佳有理逼近 9
2.2 **的一維小除數(shù)條件 13
2.2.1 Diophantine 數(shù) 13
2.2.2 Brjuno 數(shù) 16
2.2.3 Pérez-Marco 數(shù) 20
2.2.4 條件 H 21
2.2.5 Siegel 引理和 Davie 引理 22
2.2.6 Liouville 數(shù) 32
2.2.7 CD-橋 33
2.3 **的高維小除數(shù)條件 34
2.3.1 Diophantine 條件 34
2.3.2 Brjuno 條件 36
2.3.3 Liouville 向量 45
第3章 一維小除數(shù)理論的幾個應(yīng)用 49
3.1 解析同胚芽的線性化 49
3.1.1 Siegel 定理 50
3.1.2 Brjuno 定理 52
3.1.3 Yoccoz 定理 53
3.2 一個平面映射的解析不變*線問題 55
3.2.1 問題的提出 55
3.2.2 輔助方程的解析解 57
3.2.3 解析不變*線的存在性 62
3.3 Shabat 方程的解析解 64
3.3.1 問題的提出 64
3.3.2 方程(3.3.5) 的解析解 67
3.4 出現(xiàn)在組合數(shù)論中的迭代微分方程的解析解 76
3.4.1 問題的提出 76
3.4.2 方程(3.4.7) 的解析解 79
3.4.3 方程(3.4.6) 的解析解 88
3.5 廣義迭代根問題的解析解 90
第4章 圓周和環(huán)面上擬周期流的線性化 98
4.1 Tm 上的擬周期驅(qū)動流的線性化 100
4.1.1 預(yù)備知識 100
4.1.2 主要結(jié)果及證明 102
4.1.3 主要結(jié)果的一個應(yīng)用 120
4.1.4 附錄 122
4.2 圓周上的擬周期驅(qū)動流的線性化 124
4.2.1 單頻 Liouville 頻率的情況 124
4.2.2 多維 Liouville 頻率的情況 133
第5章 退化驅(qū)動系統(tǒng)的不變環(huán)面和擬周期分叉 149
5.1 擬周期驅(qū)動斜積映射的拋物不變環(huán) 149
5.1.1 預(yù)備知識 149
5.1.2 法向一維斜積映射的拋物不變環(huán) 152
5.1.3 法向高維斜積映射的拋物不變環(huán) 168
5.2 退化擬周期驅(qū)動系統(tǒng)的響應(yīng)解和擬周期分叉 169
5.2.1 預(yù)備知識 170
5.2.2 一維退化系統(tǒng)的響應(yīng)解 172
5.2.3 高維系統(tǒng)的響應(yīng)解 184
5.2.4 一維系統(tǒng)的退化擬周期分叉 190
5.2.5 哈密頓系統(tǒng)的退化擬周期分叉 198
第6章 具有擬周期驅(qū)動偏微分方程的不變環(huán)面 212
6.1 不含一次項的驅(qū)動波動方程的不變環(huán)面 212
6.1.1 主要結(jié)果的敘述 212
6.1.2 一個常微分方程的擬周期解 214
6.1.3 波動方程的哈密頓函數(shù)設(shè)置 217
6.1.4 線性哈密頓系統(tǒng)(6.1.24) 的約化 223
6.1.5 部分 Birkhoff 正規(guī)形 245
6.1.6 一個無窮維 KAM 定理 258
6.1.7 主要定理的證明 261
6.2 具有非齊次項的驅(qū)動薛定諤方程的不變環(huán)面 266
6.2.1 主要結(jié)果的敘述 267
6.2.2 一個常微分方程的擬周期解 268
6.2.3 哈密頓函數(shù)設(shè)置和線性哈密頓系統(tǒng)的約化 274
6.2.4 擾動項的正則性 282
6.2.5 部分 Birkhoff 正規(guī)形 284
6.2.6 主要定理的證明 291
6.3 超越多維 Brjuno 頻率的驅(qū)動梁方程的 Whiskered 環(huán) 294
6.3.1 預(yù)備知識 295
6.3.2 主要定理 6.3.2 的證明 299
6.3.3 主要結(jié)果的證明 320
6.3.4 附錄 325
6.4 超越 Brjuno 頻率的病態(tài) Boussinesq 方程的響應(yīng)解 327
6.4.1 預(yù)備知識 327
6.4.2 同調(diào)方程和它的解 332
6.4.3 KAM 步 342
6.4.4 KAM 步的動機 344
6.4.5 一個有限歸納 345
6.4.6 一個無限歸納 354
6.4.7 收斂性 357
6.4.8 測度估計 358
6.4.9 應(yīng)用: 定理 6.4.1 的證明 359
6.4.10 附錄 367
第7章 二維完全共振薛定諤方程擬周期解的構(gòu)造 370
7.1 主要結(jié)果的敘述 370
7.1.1 切向位置的可容許集 370
7.1.2 主要結(jié)果 371
7.2 一個無窮維 KAM 定理 372
7.2.1 泛函知識的預(yù)備 372
7.2.2 KAM 定理 374
7.3 定理 7.2.1 的證明 377
7.3.1 KAM 步 378
7.3.2 測度估計 394
7.4 哈密頓公式和部分 Birkhoff 正規(guī)形 397
7.4.1 哈密頓公式 397
7.4.2 部分 Birkhoff 正規(guī)形 398
7.5 定理 7.1.1 的證明 408
7.5.1 驗證(A1) 和(A2) 408
7.5.2 驗證(A3) 409
7.5.3 驗證(A4)，(A5) 和(A6) 421
7.6 可容許集 S 的非空性 422
參考文獻 424