幾何相位與量子幾何初步

目錄
序一
序二
前言
第1章**力學(xué)中的幾何相位1
1.1傅科擺1
1.2**力學(xué)中的幾何相位理論3
1.2.1哈密頓力學(xué)與辛幾何3
1.2.2**可積系統(tǒng)簡(jiǎn)介7
1.2.3絕熱不變量與**絕熱定理12
1.2.4**幾何相位——Hannay角18
第2章量子純態(tài)的幾何相位22
2.1Berry相位簡(jiǎn)介——標(biāo)準(zhǔn)推導(dǎo)22
2.1.1量子絕熱過(guò)程與Berry相位22
2.1.2Berry相位與參數(shù)空間25
2.2量子純態(tài)的平行輸運(yùn)與Berry相位27
2.2.1量子態(tài)之間的平行性和正交性27
2.2.2平行演化條件與Berry相位28
2.2.3平行演化與動(dòng)力學(xué)過(guò)程29
2.3Berry相位的纖維叢描述31
2.3.1Berry相位與U(1)主叢31
2.3.2切叢的水平與垂直子空間32
2.3.3Ehresmann聯(lián)絡(luò)與Berry聯(lián)絡(luò)35
2.3.4平行輸運(yùn)過(guò)程與Fubini-Study距離38
2.4兩能級(jí)體系中的Berry相位40
2.4.1Berry相位的一般表達(dá)式40
2.4.2有效磁矢量勢(shì)和有效磁場(chǎng)42
2.4.3Berry聯(lián)絡(luò)、Berry*率與環(huán)繞數(shù)43
2.4.4SSH模型46
2.5若干簡(jiǎn)單量子系統(tǒng)的Berry相位50
2.5.1諧振子相干態(tài)的Berry相位50
2.5.2自旋-j系統(tǒng)的Berry相位53
2.5.3廣義諧振子的Berry相位54
2.6Berry相位與Hannay角56
2.7*Berry相位的應(yīng)用：霍爾電導(dǎo)——TKNN公式58
2.7.1Kubo公式58
2.7.2霍爾電導(dǎo)61
2.7.3Berry相位與量子反常65
2.8簡(jiǎn)并量子系統(tǒng)的Wilczek-Zee相位67
2.8.1物理描述67
2.8.2幾何描述69
2.8.3自旋四極子系統(tǒng)72
2.8.4一般雙重簡(jiǎn)并四能級(jí)系統(tǒng)75
2.9Aharonov-Anandan相位77
2.9.1Aharonov-Anandan相位簡(jiǎn)介77
2.9.2兩能級(jí)系統(tǒng)的Aharonov-Anandan相位79
2.9.3Aharonov-Anandan相位的幾何描述81
2.9.4純態(tài)幾何相位的可遷移性問(wèn)題81
2.10純態(tài)幾何相位的動(dòng)力學(xué)方法83
2.10.1Bargmann不變量83
2.10.2單參數(shù)*線與幾何相位84
2.10.3量子態(tài)之間的測(cè)地線與幾何相位86
2.10.4Bargmann不變量與幾何相位87
第3章純態(tài)流形的幾何90
3.1引言90
3.2量子純態(tài)的相空間90
3.2.1量子相空間的纖維化90
3.2.2量子相空間上的K？hler度量92
3.2.3CPN-1與Fubini-Study距離94
3.3齊次坐標(biāo)下的Aharonov-Anandan相位96
3.4純態(tài)流形的纖維化與距離分解99
3.4.1距離分解99
3.4.2U(1)主叢S2N-1(CPN-1，U(1))100
3.4.3C*主叢CN(CPN-1，C*)103
3.4.4Aharonov-Anandan聯(lián)絡(luò)與CPN-1的幾何性質(zhì)107
3.5純態(tài)的量子幾何張量110
3.5.1量子幾何張量簡(jiǎn)介110
3.5.2二維量子幾何張量的性質(zhì)116
3.5.3兩能級(jí)系統(tǒng)的二維量子幾何張量117
3.6Fubini-Study距離的幾何與物理意義118
3.6.1測(cè)地線118
3.6.2量子角122
3.6.3量子演化速度123
3.6.4保真度敏感性124
3.7簡(jiǎn)并量子體系的非阿貝爾量子幾何張量125
3.7.1理論基礎(chǔ)125
3.7.2一般雙重簡(jiǎn)并四能級(jí)系統(tǒng)127
3.8量子純態(tài)流形的辛幾何結(jié)構(gòu)128
3.8.1厄米內(nèi)積與辛形式129
3.8.2辛形式與量子動(dòng)力學(xué)129
3.8.3辛形式與幾何量子化134
第4章量子混合態(tài)及其純化的幾何性質(zhì)139
4.1密度矩陣139
4.2量子混合態(tài)的相空間143
4.2.1密度矩陣空間143
4.2.2密度矩陣空間的幾何特征146
4.2.3密度矩陣空間的層化150
4.2.4密度矩陣空間的秩分解155
4.3量子混合態(tài)的純化157
4.3.1混合態(tài)純化的定義157
4.3.2平行性的定義159
4.3.3平行性與Bures距離160
4.4Uhlmann平行條件與Thomas旋轉(zhuǎn)矩陣166
4.5密度矩陣純化的數(shù)學(xué)物理意義170
4.5.1同一密度矩陣的不同純化170
4.5.2密度矩陣純化的旋量表示173
4.5.3準(zhǔn)靜態(tài)動(dòng)力學(xué)過(guò)程的旋轉(zhuǎn)解釋175
第5章量子混合態(tài)的Uhlmann相位176
5.1量子混合態(tài)幾何相位的研究歷程176
5.2量子混合態(tài)的Uhlmann相位177
5.2.1混合態(tài)純化的平行演化177
5.2.2Uhlmann相位的幾何理論181
5.2.3*從平行演化條件直接導(dǎo)出Uhlmann聯(lián)絡(luò)192
5.2.4Uhlmann*率193
5.3Uhlmann過(guò)程與動(dòng)力學(xué)過(guò)程194
5.3.1兩種過(guò)程之間的關(guān)系194
5.3.2混合態(tài)的動(dòng)力學(xué)相位196
5.3.3對(duì)偶哈密頓量197
5.3.4混合過(guò)程與Uhlmann動(dòng)力學(xué)過(guò)程199
5.4Uhlmann過(guò)程的其他性質(zhì)203
5.4.1Uhlmann平行演化條件與純態(tài)平行演化條件的對(duì)比203
5.4.2無(wú)限高溫下的Uhlmann過(guò)程205
5.5兩能級(jí)體系與非幺正Uhlmann過(guò)程207
5.5.1兩能級(jí)系統(tǒng)207
5.5.2SSH模型211
5.5.3關(guān)于二維量子系統(tǒng)拓?fù)銾hlmann數(shù)的爭(zhēng)議215
5.6幺正Uhlmann過(guò)程217
5.6.1幺正Uhlmann過(guò)程的存在性217
5.6.2諧振子相干態(tài)的Uhlmann相位219
5.6.3自旋-j系統(tǒng)的Uhlmann相位227
5.7Uhlmann-Berry對(duì)應(yīng)關(guān)系242
5.7.1Uhlmann相位與Berry相位242
5.7.2Uhlmann*率與Berry*率246
5.7.3Uhlmann*率與Wilczek-Zee*率248
5.8Uhlmann相位的實(shí)驗(yàn)?zāi)M250
5.8.1平行演化的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)250
5.8.2自旋-j系統(tǒng)的弱化“平行演化”251
5.8.3自旋-j系統(tǒng)的Uhlmann淬火動(dòng)力學(xué)過(guò)程253
第6章量子混合態(tài)的干涉幾何相位260
6.1干涉幾何相位簡(jiǎn)介260
6.1.1混合態(tài)的相位260
6.1.2平行演化條件262
6.1.3干涉幾何相位與動(dòng)力學(xué)相位263
6.1.4干涉幾何相位的規(guī)范依賴性265
6.1.5典型例子266
6.2干涉幾何相位與Uhlmann相位273
6.2.1混合態(tài)純化與相位匹配條件273
6.2.2干涉幾何相位與Uhlmann相位的異同274
6.2.3同一物理過(guò)程，兩種幾何相位275
6.2.4三能級(jí)玩具模型277
第7章混合態(tài)幾何相位的其他定義285
7.1引言285
7.1.1Berry相位的“直接”推廣285
7.1.2干涉幾何相位的“直接”推廣286
7.2熱基態(tài)–密度矩陣的另一純態(tài)表示287
7.2.1熱基態(tài)簡(jiǎn)介287
7.2.2*BCS模型的熱基態(tài)描述289
7.3熱Berry相位291
7.3.1平行演化條件的推廣291
7.3.2熱Berry相位的理論分析292
7.3.3典型例子296
7.4熱Berry相位與U(1)叢298
7.4.1熱Berry相位的規(guī)范不變性298
7.4.2U(1)叢299
7.4.3Ehresmann聯(lián)絡(luò)與U(1)規(guī)范聯(lián)絡(luò)302
7.4.4U(1)幾何相位–熱Berry相位303
7.5廣義干涉幾何相位304
7.5.1簡(jiǎn)介304
7.5.2系統(tǒng)空間上的幺正演化305
7.5.3輔助空間上的幺正演化306
7.5.4系統(tǒng)空間與輔助空間上的聯(lián)合幺正演化308
7.5.5典型例子310
第8章混合態(tài)流形與量子幾何張量314
8.1混合態(tài)流形及其度規(guī)314
8.1.1混合態(tài)相空間DNN314
8.1.2Hilbert-Schmidt度規(guī)315
8.1.3Bures度規(guī)316
8.1.4Bures度規(guī)與量子Fisher信息矩陣320
8.2U(N)–量子幾何張量322
8.2.1Uhlmann度規(guī)322
8.2.2Uhlmann度規(guī)與Bures度規(guī)326
8.2.3Uhlmann形式329
8.2.4純態(tài)與混合態(tài)之間的對(duì)應(yīng)與不同331
8.2.5Bures距離與Fubini-Study距離332
8.2.6基本不等式與Bures距離的分解334
8.2.7典型例子336
8.3UN(1)–量子幾何張量340
8.3.1Sj？qvist距離340
8.3.2Sj？qvist距離與UN(1)主叢342
8.3.3Sj？qvist距離的物理意義346
8.3.4UN(1)–量子幾何張量349
8.3.5基本不等式352
8.3.6典型例子355
參考文獻(xiàn)363
附錄ABerry相位的一些補(bǔ)充計(jì)算369
附錄BK？hler流形簡(jiǎn)介371
B.1復(fù)流形371
B.1.1柯西–黎曼條件371
B.1.2近復(fù)結(jié)構(gòu)371
B.2厄米流形與K¨ahler流形374
B.2.1黎曼度規(guī)374
B.2.2厄米度規(guī)374
B.2.3K？hler形式376
B.2.4撓率與*率379
B.2.5K？hler流形381
附錄CUhlmann相位理論中的一些計(jì)算383
C.1Bures距離383
C.2Uhlmann聯(lián)絡(luò)385
C.3兩能級(jí)體系Uhlmann聯(lián)絡(luò)的另一種計(jì)算方法386
C.4Uhlmann對(duì)主叢聯(lián)絡(luò)的推導(dǎo)及其問(wèn)題388
附錄D量子淬火動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)介391
D.1簡(jiǎn)介391
D.2理論模型392
D.3自旋-j系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)量子相變394
D.4在量子混合態(tài)中的推廣395
《21世紀(jì)理論物理及其交叉學(xué)科前沿叢書》已出版書目398