而啟發(fā)式方法的局限性也存在于這兩個(gè)方面：

1）有些聯(lián)系是不管怎樣“啟發(fā)”也想不起來(lái)的。譬如“當(dāng)布被刺破了，干草堆就重要了”，你怎么解釋這句話？如果有人提示一下“降落傘”，每個(gè)人都會(huì)恍然大悟。這是因?yàn)閺摹安肌钡健敖德鋫恪敝g的單向聯(lián)系是近乎不存在的。而且就算運(yùn)用啟發(fā)法，譬如考慮所有布做的東西，也基本絕無(wú)可能想到降落傘，因?yàn)橥瑯樱瑥摹安甲龅臇|西”到“降落傘”之間的關(guān)聯(lián)也是極其微弱的。我們腦子里只能保留那些最最重要的聯(lián)系（如果一提到布，“降落傘”和“衣服”、“被單”、“窗簾”等日常物品以同等重要級(jí)別閃現(xiàn)，就亂套了）。那為什么從降落傘我們能想到布呢？我們實(shí)際上不能，我們?yōu)槭裁从行r(shí)候能，是因?yàn)槠┤缬腥私心恪翱紤]降落傘的材料”，后者就激發(fā)了“降落傘之材料”這個(gè)語(yǔ)意，后者又指導(dǎo)了我們?nèi)タ疾旖德鋫愕牟牧蠘?gòu)成，于是我們想到是布。否則“布”是不會(huì)直接被激發(fā)起來(lái)的。那為什么在我們的這個(gè)問(wèn)題中，一旦有人提到降落傘，我們就能建立從布到降落傘的關(guān)聯(lián)呢？這是因?yàn)椤敖德鋫恪焙汀安肌边@兩個(gè)語(yǔ)意單元的同時(shí)興奮增大了它們之間關(guān)聯(lián)的可能性，就好比是加大另一端的電壓從而發(fā)生了“擊穿”一樣。從本質(zhì)上，解數(shù)學(xué)題也是如此，費(fèi)馬大定理的求解過(guò)程是一個(gè)很好的例子，谷山志村猜想，就相當(dāng)于那個(gè)“降落傘”的提示。我們還聽(tīng)到很多這樣的故事（或者自己經(jīng)歷）：苦思冥想一個(gè)問(wèn)題不得要領(lǐng)，某一天在路上走，看到某個(gè)東西或聽(tīng)到某句話，然后忽然，一道閃電劃破長(zhǎng)空，那個(gè)問(wèn)題解開(kāi)了（阿基米德是因?yàn)樘稍谠「桌飶亩氲礁×υ淼膯?？）。我敢保證，如果一個(gè)人早就把那個(gè)問(wèn)題從腦海里扔到九霄云外去了（不再處于興奮狀態(tài)了），那么就算線索出現(xiàn)，也是不可能發(fā)生頓悟的。我們都知道，帶著一個(gè)問(wèn)題（使其在大腦中處于興奮狀態(tài)）去尋找答案更可能找到，即便不是有意去尋找，只要問(wèn)題還在腦子里，任何周圍的有可能與它相關(guān)的線索都不會(huì)被大腦漏掉，因?yàn)椤皢?wèn)題”和“周圍的其他線索”同時(shí)的興奮增大了關(guān)聯(lián)的可能性。如果問(wèn)題早就被從大腦（意識(shí)或潛意識(shí)）中撤下了，即便周圍出現(xiàn)提示也不會(huì)被捕捉到。

2）許多hard knowledge是不能被啟發(fā)探索出來(lái)的。至少是不能被“直接命中目標(biāo)”地探索出來(lái)的。一個(gè)問(wèn)題有可能跟三角函數(shù)有關(guān)，也許你只能帶著問(wèn)題去探索三角函數(shù)的所有性質(zhì)，從而最終發(fā)現(xiàn)那個(gè)關(guān)鍵的性質(zhì)。費(fèi)馬大定理與橢圓方程有關(guān)，也許只能去探索橢圓方程的所有性質(zhì)，這個(gè)過(guò)程在一定程度上是盲目的、試錯(cuò)的、遍歷的。而不是直接面向目標(biāo)的。再聰明的人也無(wú)法從費(fèi)馬大定理直接反推到谷山志村猜想。在這些時(shí)候，啟發(fā)式方法最多只能提供一個(gè)探索的大致方向：譬如，探索三角函數(shù)的性質(zhì)，并隨時(shí)注意其中哪個(gè)可能對(duì)我這個(gè)問(wèn)題有幫助。或者，探索模運(yùn)算的性質(zhì)，看看哪些性質(zhì)可能會(huì)有用?；蛘撸剿鳈E圓曲線的性質(zhì)，等等。啟發(fā)式方法并不能使我們的探索精準(zhǔn)地命中目標(biāo)，而只能劃定一個(gè)大致的范圍。也難怪有人說(shuō)數(shù)學(xué)是盲目的。

但話說(shuō)回來(lái)，啟發(fā)式方法的局限性并不能否認(rèn)在大量場(chǎng)合啟發(fā)式方法的巨大幫助，許多時(shí)候，單靠啟發(fā)式方法就能帶來(lái)突破。而且，一旦知識(shí)性的東西掌握的是一樣多的，能否運(yùn)用更優(yōu)秀的思維方法就決定了能力的高下。

7.總結(jié)的意義。解題練習(xí)的最重要目的不是將特定的題目解出來(lái)，而是在于反思解題過(guò)程中的一般性的、跨問(wèn)題的思維法則。簡(jiǎn)單地將題目解出來(lái)（或者解不出來(lái)看答案，然后 “恍然大悟”），只能得到最少的東西，解出來(lái)固然能夠強(qiáng)化導(dǎo)致解出來(lái)的那個(gè)思維過(guò)程和方法，但缺少反思便不能抽取出一般性的東西供更多的題目所用。而解不出來(lái)，看答案然后“哦”的一聲更是等同于沒(méi)有收獲，因?yàn)椤袄斫狻焙汀斑\(yùn)用”相差何止十萬(wàn)八千里。每個(gè)人都有過(guò)這樣的經(jīng)歷：一道題目苦思冥想不得要領(lǐng)，經(jīng)某個(gè)人一指點(diǎn)其中的關(guān)鍵一步，頓時(shí)恍然大悟 — 這是理解。但這個(gè)理解是因?yàn)閯e人已經(jīng)將新的知識(shí)（那個(gè)關(guān)鍵的一步）放到你腦子里了，故而你才能理解。而要運(yùn)用的話，則需要自己去想出那關(guān)鍵的一步。因此，去揣測(cè)和總結(jié)別人的思維是如何觸及那關(guān)鍵的一步，而你自己的思維又為什么觸及不到它，有一些一般性的原則可以指導(dǎo)你下次也能想到那個(gè)“關(guān)鍵的一步”嗎，這是很有意義的。我們很多時(shí)候會(huì)發(fā)現(xiàn)，一道題目，解不出來(lái)，最終在提示下面解出來(lái)之后，發(fā)現(xiàn)其中并沒(méi)有用到任何自己不知道的知識(shí)，那么不僅就要問(wèn)，既然那個(gè)知識(shí)是在腦子里的，為什么我們當(dāng)時(shí)愣是提取不出來(lái)呢？而為什么別人又能夠提取出來(lái)呢？我怎么才能像別人那樣也提取出相應(yīng)的知識(shí)呢？實(shí)際上這涉及到關(guān)于記憶的最深刻的原理，實(shí)際上文中已經(jīng)提到了一些（有興趣的讀者建議參考以下幾本書：《追尋記憶的痕跡》，《Searching For Memory》，《Synaptic Self》，《Psychology of Problem Solving》）。一般性的思維法則除了對(duì)于輔助聯(lián)想（聯(lián)想起關(guān)鍵的知識(shí)）之外，另一個(gè)作用就是輔助演繹/歸納（助探），一開(kāi)始學(xué)解題的時(shí)候，我們基本上是先讀懂題目條件，做可能的一些顯然的演繹。如果還沒(méi)推到答案的話，基本就只能愣在那里等著那個(gè)關(guān)鍵的步驟從腦子里冒出來(lái)了。而所謂的啟發(fā)式思維方法，就是在這個(gè)時(shí)候可以運(yùn)用一些一般性的，所有題目都適用的探索手法，進(jìn)一步去探索問(wèn)題中蘊(yùn)含的知識(shí)，從而增大成功解題的可能性。啟發(fā)式的思維方法有很多，從一般到特殊，最具一般性的，在波利亞的《How to Solve It》中已經(jīng)基本全部都介紹了。一些更為特殊性的（譬如“如果全局搜索空間沒(méi)有遞歸結(jié)構(gòu)，那么考慮分割搜索空間”，或者那些“看到XX，要想到Y(jié)Y”的聯(lián)系），則需要自己在練習(xí)中不斷抽象總結(jié)。