世界的邏輯：不確定性為我們提供了新的思維方式

以古希臘的方式思考世界

自20世紀(jì)二三十年代以來，科學(xué)界出現(xiàn)了許多新的發(fā)現(xiàn)和理論，這些發(fā)現(xiàn)和理論挑戰(zhàn)了傳統(tǒng)的客觀實在性觀念。我們逐漸認(rèn)識到，觀察和認(rèn)知過程本身就是主觀的，而我們所生活的世界充滿了不確定性。這種不確定性不再是認(rèn)知過程中的一個偶然現(xiàn)象，而是具有自然性。

對傳統(tǒng)觀念的懷疑促使我們重新審視和定義對世界的理解。20世紀(jì)初到現(xiàn)在形成的新科學(xué)的核心觀點(diǎn)之一是：不確定性構(gòu)成了人類認(rèn)知的邊界。只有當(dāng)我們不斷探索和理解這種不確定性，并將其轉(zhuǎn)化為相對確定的知識時，我們的認(rèn)知才能得到擴(kuò)展。這一過程不僅推動了現(xiàn)代科學(xué)的發(fā)展，也深化了我們對世界本質(zhì)的理解。接受并探索這種自然內(nèi)容的不確定性，是我們拓寬知識視野、增進(jìn)對世界認(rèn)識的必經(jīng)之路。因此，在這本書里，我根據(jù)現(xiàn)代科學(xué)的觀點(diǎn)補(bǔ)充了與古典理性相關(guān)的知識，闡述了我所認(rèn)為的現(xiàn)代科學(xué)世界圖景的基本特征，并將這些特征追溯到西方哲學(xué)思想的最早階段，以說明它們是歷史的偶然產(chǎn)物，而非必然會出現(xiàn)。這是本書詳述早期哲學(xué)思想的真正目的。

古希臘文明在歷史上具有獨(dú)特地位，它不僅塑造了我們理解世界的方式，還奠定了哲學(xué)、科學(xué)和藝術(shù)的基礎(chǔ)。源于古希臘的科學(xué)精神中有一種不可或缺的傾向，那就是堅定不移地勇敢面對不明確的事物，并將它們視為進(jìn)一步探索的動力和路標(biāo)。拋開這種信念不談，正如薛定諤在《自然與希臘人》中所寫：“古希臘人的哲學(xué)至今仍然吸引著我們，因為無論在此之前還是在此之后，世界上其他任何地方都沒有建立起像他們那樣高度發(fā)達(dá)的、清晰明確的知識體系和思辨體系?！?/p>

幾大古代文明展現(xiàn)了一種顯著的共性：從興起到繁榮，大約經(jīng)歷了千年的時間，之后逐漸停滯，最終被新興的、軍事上更強(qiáng)大的文明所取代。例如，古埃及文明從公元前3200年左右開始發(fā)展，直至公元前5世紀(jì)到公元前4世紀(jì)逐漸衰落，最終在公元前332年被馬其頓王國征服。類似的情況也出現(xiàn)在古印度、古巴比倫和古代中國等文明中，它們在大約2000年的時間里進(jìn)入成熟和穩(wěn)定的階段，之后發(fā)展速度明顯放緩，達(dá)到了一個飽和點(diǎn)，接下來幾乎是原地踏步，發(fā)展相對停滯。很多考古學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，這些古代文明晚期的人類的生活水平與工業(yè)革命前的人類相當(dāng)。例如，古埃及人在金字塔建造時期的人均熱量攝取已經(jīng)與后者達(dá)到同一水平，包括肉類、蔬菜、面包以及啤酒的消費(fèi)量；古埃及人的人均壽命、醫(yī)療和手術(shù)水平也與工業(yè)革命前的人類普通狀況類似。

古希臘的哲學(xué)思想、理性探索和實證方法為后來的科學(xué)發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。古希臘的學(xué)者們通過觀察、實驗和邏輯推理，開創(chuàng)了一種全新的認(rèn)識世界的方法，這種方法在文藝復(fù)興時期得到了發(fā)揚(yáng)，在工業(yè)文明的輔助下，最終引發(fā)了近代科學(xué)革命。這一革命性的變化，標(biāo)志著人類對自然界的認(rèn)識和利用達(dá)到了一個全新的高度，也為現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展奠定了堅實的基礎(chǔ)。從諸多古代文明的發(fā)展來看，科學(xué)的出現(xiàn)并非必然，而是具有偶然性，這種偶然性最早發(fā)生在古希臘。約翰·柏奈特在《早期希臘哲學(xué)》的序言中寫道：“科學(xué)是‘以希臘的方式思考世界’，這是對科學(xué)恰如其分的描述。因此可以說，除了那些受到希臘影響的民族，科學(xué)從未存在過?！?/p>

當(dāng)我們認(rèn)真審視古希臘時會發(fā)現(xiàn)，我們在中學(xué)階段學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識，包括平面幾何、代數(shù)等，以及大部分物理學(xué)知識，在古希臘時期就已經(jīng)為人知曉，并且被寫進(jìn)了著作和教材。當(dāng)我們談?wù)摰厍驎r，已經(jīng)默認(rèn)它是球形的，中國古人說“天圓地方”。那么地球是如何被發(fā)現(xiàn)是球形的？人們又是如何證明它是球形的？古希臘人首先觀察到金星在不同日子里的明暗變化，并因此推論金星在反射太陽光，因為距離的遠(yuǎn)近差異，導(dǎo)致它在地球上看起來明暗不同。他們推測月亮也在反射太陽光。當(dāng)?shù)厍蜻\(yùn)行到太陽和月亮之間，就會擋住太陽光，因此月亮的盈虧是地球的影子造成的。而只有球形物體的影子才能總是圓的，因此他們推斷地球肯定是球形的。古希臘人甚至測量了地球的直徑，測量結(jié)果與實際誤差不超過10%。

奧地利哲學(xué)家、古典學(xué)者特奧多爾·貢珀茨（Theodor Gomperz）在《希臘思想家》中說：“我們幾乎全部的智力教育都源于希臘人。要想從他們勢不可當(dāng)?shù)挠绊懼薪饷摮鰜?，就必須首先徹底認(rèn)識這些淵源。”古希臘的確是個特殊的存在。古希臘文明不僅塑造了古羅馬，而且在羅馬文明的框架內(nèi)孕育了基督教?；浇淌菫閿?shù)不多建立在邏輯規(guī)則之上的宗教之一，它對邏輯問題的深入探討為后來的科學(xué)發(fā)展提供了哲學(xué)基礎(chǔ)。

與其他文明相比，古希臘文明形成了一套完整的邏輯體系，這使得知識能夠穩(wěn)定地積累和傳承。在沒有邏輯體系的古代文明中，知識很難有穩(wěn)定的沉淀。這樣的古代文明在發(fā)展到一定階段后，往往會遇到瓶頸。隨著文明人口的增長，不同的觀點(diǎn)和想法難以達(dá)成共識，舊的知識被遺忘又被重復(fù)發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)致知識無法穩(wěn)定積累。古希臘人發(fā)展出的邏輯學(xué)讓知識得以沉淀和積累。經(jīng)過一代代人的努力，相對正確的知識被篩選出來并得以積累，為文明的爆發(fā)奠定了基礎(chǔ)。在古希臘文明之后大約又過了2000年，科學(xué)在基督教世界內(nèi)部爆發(fā)，這與基督教繼承了古希臘的邏輯學(xué)精神，即嚴(yán)格的思維方式，有著密切的聯(lián)系。這種思維方式為科學(xué)方法的發(fā)展提供了理論支持，促進(jìn)了人類對自然界的深入理解和技術(shù)的快速進(jìn)步。

現(xiàn)代科學(xué)自古典邏輯而來

在本書中，我將20世紀(jì)30年代之前的邏輯學(xué)稱為古典邏輯，又稱經(jīng)典邏輯。這種邏輯體系建立在確定論的基礎(chǔ)之上，強(qiáng)調(diào)對清晰思維的信念，并在此框架下構(gòu)建了傳統(tǒng)的認(rèn)知體系，包括如何獲取新知識、如何在知識體系的假設(shè)范疇內(nèi)進(jìn)行有意義的討論和證明。

基于古希臘的古典邏輯，人們發(fā)展出了數(shù)學(xué)、物理學(xué)等基本領(lǐng)域內(nèi)的知識，這些知識如今已成為教育的常識。然而，隨著近代數(shù)學(xué)的發(fā)展，人們開始深刻反思這種數(shù)學(xué)確定性的可靠性。例如，算術(shù)中看似簡單的概念，如1+1=2這樣的常識性內(nèi)容是我們從小就被教條式灌輸?shù)?。但如果我們深入思考，?”究竟代表什么含義？如果將“1把椅子”和“1張桌子”相加，結(jié)果得到2件家具，但這并不等于“2把椅子”。這里的加法究竟代表什么操作？等號在這一過程中是否有明確的定義？在布爾代數(shù)的二進(jìn)制系統(tǒng)中，1+1=10也是成立的。這種靈活性提示我們，算術(shù)的基礎(chǔ)和知識體系的構(gòu)建并非一成不變，有些主觀的味道在其中。

在學(xué)習(xí)微積分時，我們會接觸到“無窮大”和“無窮小”的概念。這些概念究竟是什么意思？我們在實際應(yīng)用中往往不假思索地使用它們。牛頓在建立微積分時，也直接采用了這些概念，盡管他意識到這并非嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，只是一種實用工具。這種做法為數(shù)學(xué)的第二次危機(jī)埋下了伏筆。

直到1880年左右，喬治·康托爾認(rèn)真研究了“無窮大”和“無窮小”的確切含義，才解決了這一問題，但這又引發(fā)了數(shù)學(xué)的第三次危機(jī)，甚至導(dǎo)致了后來的數(shù)學(xué)革命。這些歷史事件表明，即使對于最基本的數(shù)學(xué)概念，也需要經(jīng)過嚴(yán)格的審視和重新構(gòu)建，以確保知識體系的穩(wěn)固和發(fā)展。通過這種批判性的反思和邏輯分析，我們能夠更深入地理解知識的結(jié)構(gòu)，推動科學(xué)的進(jìn)步。

坊間有說法稱“物理學(xué)的終點(diǎn)是哲學(xué)，哲學(xué)的終點(diǎn)是神學(xué)”。然而，在過去的100年里，科學(xué)界的看法是：哲學(xué)在過去的100年里對科學(xué)最大的貢獻(xiàn)是沒有貢獻(xiàn)?！銊e添亂就好了，100多年前大家已經(jīng)分了家了，你干你的、我干我的。維特根斯坦又促成兩者的徹底分離。在20世紀(jì)二三十年代，維特根斯坦“終結(jié)”了古典哲學(xué)形而上學(xué)傳統(tǒng)，但同時又啟發(fā)了新的哲學(xué)學(xué)派。他深刻地影響了維也納學(xué)派，而維也納學(xué)派制定了科學(xué)這個行當(dāng)?shù)男幸?guī)，即我們只能研究“有效陳述下的可檢驗事實”。任何科學(xué)陳述必須是符合邏輯規(guī)則的陳述，且最好是能用數(shù)學(xué)方式來表達(dá)的陳述。這是我們對所有科學(xué)論文陳述方式的基本要求：它是有效陳述。

科學(xué)陳述必須構(gòu)建一個可檢驗的事實。只有在事實真?zhèn)慰蓹z驗的情況下，一個陳述或一個假設(shè)才能成為一個科學(xué)可以研究的命題，才能發(fā)展成所謂的科學(xué)論文。無論你研究哪些內(nèi)容，一定要遵循這樣的行規(guī)，并在研究過程中遵循科學(xué)規(guī)范：怎么給出假設(shè)，怎么進(jìn)行證明，怎么設(shè)計實驗，怎么得出結(jié)論。只有在這個范疇之內(nèi)的可檢驗的事實才是科學(xué)，不能按照這個規(guī)則來進(jìn)行的都不是科學(xué)的命題，也就不需要冠之以科學(xué)之名，不需要以“科學(xué)”或“不科學(xué)”來評價。人們可以提出其他各種想法或觀點(diǎn)，但如果不能構(gòu)建一個可檢驗的事實，那就不屬于科學(xué)范疇。從這個角度上講，在現(xiàn)代科學(xué)中，數(shù)學(xué)偏重工具性，物理學(xué)偏重應(yīng)用和實踐。在這樣的簡單規(guī)范下，數(shù)學(xué)通過理性來構(gòu)架工具，系統(tǒng)梳理和表達(dá)我們腦中的想法，做出有效陳述；物理學(xué)則是把這些想法跟自然界進(jìn)行對接，形成第一道“界面”，并給出可驗證的事實。

在大學(xué)，老師在培養(yǎng)博士生時會不斷訓(xùn)練他們學(xué)習(xí)本行業(yè)的行規(guī)，就像鐵匠培養(yǎng)徒弟一樣。無論學(xué)哪門手藝，規(guī)矩都是要先學(xué)會的?？茖W(xué)也是如此，研究的興趣和范圍可以很廣，但有特別明確的行規(guī)，這些行規(guī)最初是從維也納學(xué)派開始確立的。之前有很多不同的科學(xué)家，也有各種不同的流派，但都沒有確立科學(xué)的行規(guī)，直到維也納學(xué)派的創(chuàng)立，科學(xué)的行規(guī)才最終得以確立。

不確定性為我們提供了新的思維方式

本書會介紹數(shù)學(xué)的三次危機(jī)，這三次危機(jī)把我們對知識的態(tài)度從對確定性的追求轉(zhuǎn)向了對不確定性的接納。數(shù)學(xué)的第一次危機(jī)指的是畢達(dá)哥拉斯關(guān)于無理數(shù)的危機(jī)。第二次危機(jī)源于對“無窮小量”的研究——無窮到底是什么？第三次危機(jī)則源于集合論。1900年前后，伯特蘭·羅素提出了集合論的基礎(chǔ)困難。這個困難至今未被徹底解決。這實際上重塑了我們對數(shù)學(xué)的認(rèn)知，甚至讓我們對整個理論框架提出了質(zhì)疑，使我們不得不謹(jǐn)慎思考數(shù)學(xué)本身是不是一個穩(wěn)定可靠的工具。這場危機(jī)至今仍未結(jié)束，對未來認(rèn)知的影響仍在持續(xù)，甚至現(xiàn)在仍在被人激烈地討論。

20世紀(jì)30年代，哥德爾不完備定理將數(shù)學(xué)的第三次危機(jī)推向高潮。這個定理幾乎是人類歷史上最重要的證明，可以說是人類認(rèn)知史上最重要的事件。在哥德爾不完備定理的框架下，我們可以探討如何構(gòu)建一個理想的制度，因為哥德爾不完備定理告訴我們，任何有限的可描述體系都是有缺陷的。比如，我們是否可以構(gòu)架一個理想的投票機(jī)制？投票這件事從古希臘時代就開始了，經(jīng)過2000多年的時間，我們是否找到了一個令大家都滿意的投票方式呢？事實是，無論怎么做，我們的選舉規(guī)則必然是有限的，因此無法避免哥德爾不完備定理。1951年，數(shù)學(xué)家肯尼斯·阿羅證明了阿羅不可能定理。在哥德爾不完備定理的大框架下，這意味著，人們通過有限的規(guī)則，是不可能設(shè)計出一個能夠充分反映民意的、自由的、公平的、無獨(dú)裁的選舉方法的。

艾倫·圖靈繼承了哥德爾的想法，真正把哥德爾的思想發(fā)揚(yáng)光大并落實。在圖靈的許多重要工作中，我們都能看到哥德爾的影子。圖靈對現(xiàn)代科技的影響是顯而易見的。如今所有計算機(jī)，包括量子計算機(jī)，都是基于圖靈機(jī)的原理構(gòu)建的。圖靈機(jī)成為人工智能（AI）和所有現(xiàn)代計算機(jī)硬件的基礎(chǔ)。在1936年發(fā)表的那篇知名論文中，圖靈闡述了通用計算設(shè)備的設(shè)計，并指出其核心目的是證明哥德爾不完備定理。為此，他構(gòu)想了一種能夠自動執(zhí)行計算的機(jī)器，即后來廣為人知的圖靈機(jī)。

圖靈證明了計算機(jī)的指令和數(shù)據(jù)沒有區(qū)別，所有的指令序列或物理定律都可以被視為圖靈機(jī)的數(shù)據(jù)。馮·諾伊曼利用這一原理建立了現(xiàn)代計算機(jī)體系結(jié)構(gòu)，確保了計算機(jī)的輸出與通用圖靈機(jī)的結(jié)果等效。在這個體系結(jié)構(gòu)中，指令和數(shù)據(jù)都被視為存儲在計算機(jī)中的信息，它們之間不存在本質(zhì)的差異。圖靈機(jī)的概念構(gòu)成了現(xiàn)代計算機(jī)的基礎(chǔ)，無論計算機(jī)的形態(tài)如何變化，無論是可穿戴設(shè)備、智能手機(jī)，還是云計算中心，它們都可以被視為等效的圖靈機(jī)。

在1936年發(fā)表的論文中，除了設(shè)計了圖靈機(jī)，奠定了今天人工智能的物理基礎(chǔ)，圖靈還指出了圖靈機(jī)的局限性，并證明停機(jī)問題的不可判定性，為哥德爾不完全性定理提供了計算理論的對應(yīng)證明。圖靈機(jī)的這一特性使得后來的研究者意識到，盡管圖靈機(jī)非常有用，但它并非萬能的。這啟發(fā)人們開始探索機(jī)器和人工智能的局限性，理解它們存在無法完成的任務(wù)范圍。換句話說，無論知識體系如何，只要它是可計算的，就與人的認(rèn)知存在不同，人類認(rèn)知中的一些能力可能超出算法可處理的范疇。這也意味著，可計算性與完全性在本質(zhì)上是不相容的。

近年來人工智能技術(shù)的研究為我們提供了新的思考方式和啟發(fā)人工智能的興起，它被證明可能是更為合理的方法論。實際上，使用貝葉斯方法所需的計算和信息理論比經(jīng)典概率統(tǒng)計方法更為接近人的真實主觀認(rèn)知過程。因此計算機(jī)科學(xué)在經(jīng)驗性領(lǐng)域的進(jìn)展也可以作為理論計算機(jī)科學(xué)的補(bǔ)充。

哥德爾是人類認(rèn)知發(fā)展史上的一位光輝的里程碑式人物，他的思想開啟了一個全新的時代。在本書中，我將從哥德爾的工作出發(fā)，探討人工智能、確定性計算、信息理論以及香農(nóng)熵的概念，并深入討論混沌理論②所帶來的不確定性。通過探討量子計算，我們將理解量子力學(xué)的基本邏輯基礎(chǔ)。量子力學(xué)向我們展示了一種新的邏輯體系，它不同于20世紀(jì)30年代之前的古典邏輯。

哥德爾不完備定理和量子力學(xué)所體現(xiàn)的不確定性為我們提供了一種新的思維方式，這種思維方式雖然建立在古典科學(xué)的基礎(chǔ)上，卻代表了一種新的理性。它不同于感性，也不完全等同于傳統(tǒng)理性，而是代表了一種全新的邏輯體系。

自20世紀(jì)30年代以來，物理學(xué)、數(shù)學(xué)以及混沌理論的發(fā)展向我們揭示了世界的不確定性本質(zhì)。不確定性在許多領(lǐng)域逐漸顯現(xiàn)，挑戰(zhàn)了傳統(tǒng)對確定性的追求，已經(jīng)成為當(dāng)今科學(xué)研究中最深奧、最迷人、最有前景的論題。它不僅挑戰(zhàn)了我們對確定性的傳統(tǒng)認(rèn)知，還推動了我們對計算、信息和邏輯本質(zhì)的深入理解。

藏傳佛教有一種壇城藝術(shù)，僧侶們用彩色沙子在地上精心創(chuàng)作作品，這個過程可能耗時數(shù)月甚至數(shù)年。在畫作即將完成之際，僧侶們會將其摧毀，以此象征世間的無常和變遷。古人說“功不唐捐”，而作為清華大學(xué)美術(shù)學(xué)院建院以來唯一聘用的物理學(xué)家，我有資格說，科學(xué)家也是藝術(shù)家?？茖W(xué)本身就是一種行為藝術(shù)和精神信仰，科學(xué)家在知識的領(lǐng)域中不斷構(gòu)建新的理論框架，就如同建造壇城的創(chuàng)作一樣，每一步都極具匠心、莊嚴(yán)肅穆?？茖W(xué)家構(gòu)建起宏偉的知識體系，預(yù)測了許多現(xiàn)象，但在某個時刻，他們可能會推翻這個體系，重新構(gòu)建一個新的體系。物理學(xué)尤其如此，它不斷建立和推翻知識體系，不斷進(jìn)行創(chuàng)造性的重生。

藝術(shù)家常常認(rèn)為科學(xué)家過于理性，但實際上，科學(xué)家在某種程度上是更加感性的：我們辛勤建立起的成果，最終可能會被我們自己推翻。但正是這種不斷的自我超越，構(gòu)成了科學(xué)的魅力。科學(xué)家通過推翻舊的體系，建立新的體系，即使知道新的體系也可能會被未來的發(fā)現(xiàn)所推翻，我們?nèi)匀粓猿植恍浮?/p>

理性和感性本就是融匯的、一體的。人類需要理解自己和自然，同時也需要通過表達(dá)來溝通思想。溝通的方式多種多樣，除了語言和藝術(shù)，科學(xué)也是一種強(qiáng)有力的表達(dá)工具。通過不同的表達(dá)方式，我們能夠更全面地理解世界，更深刻地體驗人類的智慧和創(chuàng)造力。

本文為《世界的邏輯》（馬兆遠(yuǎn)著，湛廬文化｜浙江科學(xué)技術(shù)出版社2025年9月）一書引言。